“爱因斯坦相对论”和“毕达哥拉斯定理”之奇特关系

 ——“四维时空”与虚数

“直角三角形斜边的平方等于底边平方与高边平方二者之和”，这就是著名的毕达哥拉斯定理。

利用这个定理，纵向相隔x米，横向相隔y米的两点之间的距离就可以按照sqrt{x^2 + y^2} 计算求出。

而且这个定理不仅在二维平面上成立，在三维和三维以上的空间也成立。

那么在三维空间加上一维时间的“四维时空”中毕达哥拉斯定理是否也成立呢？

对于这个疑问，德国物理学家阿尔伯特•爱因斯坦（1879-1955）在他于1905年发布的“狭义相对论”中给出了回答。

在狭义相对论中，对于“四维时空中的距离”使用的是如下这个新的距离概念：

“‘四维时空中距离’的平方等于三维空间中距离的平方减去所经过的时间（换算为距离）的平方”。

这个距离公式与毕达哥拉斯定理相似，但是并不相同，经过时间的平方，在这里不是相加，而是被减去。

我们可以在空间自由移动却不能在时间中自由移动。在四维时空中，不能完全像处理空间那样处理时间。

然而，非常有意思的是，如果使用了虚数，那么，我们就也能够完全像处理空间那样来处理时间。

爱因斯坦曾向赫尔曼•闵可夫斯基（1864-1909）学习过数学。

在四维时空距离的计算公式中，把“减去经过时间的平方”改变形式，成为“加上虚数时间的平方”，就是闵可夫斯基提出的建议。

经过这样的修改，四维时空距离的计算公式就同我们见惯了的毕达哥拉斯定理在形式上完全一样了。

换句话说，具有虚数值的时间已经同空间毫无区别了。

时间和空间的区别难道缘于虚数？

小结

毕达哥拉斯定理（三平方定理，勾股定理）

直角三角形斜边的平方等于底边的平方与高边平方之和。反之，一个三角形两边各自平方之和如果等于那剩余一边的平方，该三角形就必定是直角三角形（如，一个三角形，如果它的三个边分别为3、4和5，就一定是直角三角形）。

相对论与虚数

1. 在普通空间，毕达哥拉斯定理成立

   距离公式 sqrt{x^2 + y^2}

2. 相对论中的“四维时空距离”

   四维时空的距离公式 sqrt{x^2 - (ct)^2}

   一艘以非常高的速度飞行的宇宙飞船，它在某一个时刻经过地球的近旁，不久以后又经过另一颗行星α的近旁。对于飞船上的宇航员来说，地球到行星α的距离是x米，移动这段距离经过的时间是t秒。因此，飞船飞过的四维时空距离（正确的说法应是“固有距离”）等于sqrt{x^2 - (ct)^2}公里。式中ct是经过的时间t与光速c（每秒30万公里）相乘。这样便把经过时间换算成了距离单位（公里）。飞船的速度总是小于光速。x^2-(ct)^2为负值，所以四维时空的距离为虚数值。

3. 闵可夫斯基的“虚数时间”

   四维时空距离公式 sqrt{x^2 + (ict)^2}

   与相对论中的距离公式不同之处在于，换算为距离的经过时间不是用t，而是改用虚数单位i后的it来表示，则时空距离就成为sqrt{x^2 + (ict)^2}。 仍然具有毕达哥拉斯定理的扩展形式（四维时空距离是虚数值）。采纳了闵可夫斯基的建议，结果，难以被人理解的狭义相对论便在几何学上（闵可夫斯基空间）容易理解了。

为何要考虑“四维时空的距离”？

根据爱因斯坦的狭义相对论，空间和时间都不是绝对的，会因观测者（运动状态）不同而发生伸缩。然而，“四维时空距离的长度”却不会因观测者而改变。不过，虽然“四维时空的距离”不依赖于坐标的选择，空间或时间各自却会因坐标选择不同而伸长或收缩，这就是爱因斯坦狭义相对论的结论。

若是虚数时间，牛顿的苹果将向上坠落

在牛顿力学中，

速度的定义是“速度＝（位置的变化）÷（时间的变化）”；

加速度的定义是“加速度＝（速度的变化）÷（时间的变化）”。

加速度是既有大小又有方向的物理量，

按照牛顿力学的运动方程“F=ma”，

质量（m）乘加速度（a）就是作用力（F）。

按照这种定义，在求加速度时，有两次距离被时间相除的除法运算。

因此，时间如果是虚数，距离两次被时间相除所得到的结果（加速度）就会带有负号，

加速度带负号，这意味着作用力作用在相反的方向。

换句话说，流动着虚数时间的世界只能是一个苹果竟然向上坠落的世界，

可是我们眼睛看见的却是苹果一定向下坠落。

所以，在我们这个现实世界，流动的时间不是虚数时间，而是实数时间。