黎曼面的庞加莱-克贝（Poincare-Koebe）单值化定理是上个世纪数学的支柱之一。单值化定理断言给定一个连通的无边曲面 $S$ ，具有黎曼度量 $\mathbf{g}$ ，则存在函数 $\lambda: S\to \mathbb{R}$ ，使得度量 $e^{2\lambda}\mathbf{g}$ 和初始度量共形等价，并且 $e^{2\lambda}\mathbf{g}$ 所决定的高斯曲率为常数。如果曲面的欧拉示性数 $\chi(S)$ 为正，零或负，则高斯曲率为+1,0,-1。

我们先来直观解释经典的Poincare-Koebe单值化定理。

上图显示了两个从度量曲面到平面圆盘之间的映射， $\varphi:(S,\mathbf{g})\to(\mathbb{D},dzd\bar{z})$ $\varphi_1,\varphi_2: (S,\mathbf{g})\to (\mathbb{D},dzd\bar{z})$ 。第一行显示了共形映射（保角映射），满足 $\varphi_1^*(dzd\bar{z})=e^{2\lambda}\mathbf{g}$ ，它把平面圆盘上的无穷小圆拉回到曲面上的无穷小圆。第二行的映射非共形，它把平面圆盘上的无穷小圆拉回到曲面上的无穷小椭圆。

Poincare-Koebe单值化定理的直观解释如下：

任何带度量的曲面都可以共形地改变度量，使得曲率为常数：亏格为0的曲面变成球面度量，拓扑环面变成平直度量，高亏格曲面的度量变成双曲度量。

如上图所示，单值化定理可以推广到带边曲面：如果曲面带有边界，那么度量变成标准度量（球面，平面或双曲度量），边界也会变成标准度量下的圆。

经典曲面单值化定理可以用哈密尔顿（Hamilton）的Ricci流方法加以证明，其核心思想是将黎曼度量张量形变，使得曲率随时间演化，其演化遵从非线性热扩散规律，最好收敛到常数,

$\frac{dg_{ij}}{dt} = (\frac{4\pi \chi(S)}{A(0)}-2K)g_{ij}$ ,

这里 $A(0)$ 是曲面在初始时刻的总面积。Hamilton和Chow证明曲面Ricci流收敛，最终 $K(\infty)$ 为常数曲率 $4\pi \chi(S)/A(0)$ ，这里 $\chi(S)$ 是曲面的欧拉示性数。

近些年来，计算机技术飞速发展。在实际算法中，绝大多数光滑曲面都被多面体曲面（离散曲面）所逼近。经典的理论应该被推广到离散情形。能否将经典单值化定理推广到离散情形，这一问题具有根本的重要性。最近，几名中国数学家成功地建立了离散曲面单值化的理论，并且基于这一理论发展了一系列的算法，应用到医学和工程领域。

假设 $S$ 是一个封闭曲面， $$ $V=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\subset S, n>0$ 是顶点集合； $T$ 是 $(S,V)$ 的一个三角剖分，其顶点集为 $V(T)$ ，边集合为 $E(T)$ 。 $(S,V)$ 上的一个分片线性度量（PL度量）d使得 每个面都是一个欧式三角形，每个顶点成为一个锥形奇异点。这样一个PL度量诱导了边长函数， $l_d: E\to \mathbb{R}_{>0}$ ，边长函数满足三角形不等式。离散的曲率被定义成角欠：设 $v_i$ 是一个顶点， $[v_i,v_j,v_k]$ 是一个三角形，在顶点 $v_i$ 处的内角为 $\theta_i^{jk}}$ ，则 $v_i$ 处的离散高斯曲率为

$K(v_i)=2\pi - \sum_{jk}\theta_i^{jk}$ 。通过简单的组合关系和三角形内角和为 $\pi$ ，我们可以得到离散高斯-博内（Gauss-Bonnet）定理：离散曲面的总曲率等于 $2\pi$ 乘以曲面的欧拉示性数：

$\sum_{v_i\in V} K(v_i) = 2\pi \chi(S)$ 。

Delaunay三角剖分

给定 $(S,V)$ 的一个PL度量，三角剖分T被称为是Delaunay的，如果对于任意一条边 $e\in T$ ，其相对的两个角之和不大于 $\pi$ ，如图所示 $a+a'\le \pi$ 。每一个PL度量，必然具有一个Delaunay三角剖分。如果初始三角剖分不是Delaunay，我们可以经过有限步对角线对换（Diagonal Switch）将三角剖分变换为Delaunay。

离散共形度量

离散共形因子是定义在顶点上的函数 $u: V\to\mathbb{R}$ ，顶点相似变换（Vertex Scaling）是将度量如下变换：

$(S,V)$ 上的两个PL度量 $d$ 和 $d'$ 离散共形等价，如果存在一系列 $(S,V)$ 上的PL度量

$d=d_1,d_2,\cdots,d_m=d'$ ，和一系列三角剖分 $T_1,T_2,\cdots,T_m$ ,满足

1. 每一个 $T_i$ 在 $d_i$ 下Delaunay，

2. 如果 $T_i = T_{i+1}$ ,那么 $d_{i+1}$ 和 $d_i$ 相差一个顶点相似变换(Vertex Scaling)，

3. 如果 $T_i\neq T_{i+1}$ ,那么 $(S,d_i)$ 和 $%uFF08S,d_{i+1})$ $(S,d_{i+1})$ 彼此等距，等距变换和恒同变换同伦。 $T_{i+1}$ 由 $T_i$ 经过有限次对角线对换得到(diagonal switch)。
   

每一个PL度量的离散共形等价类被称为是一个离散黎曼面。

离散共形等价

定理（离散曲面单值化定理） 在封闭曲面 $(S,V)$ 上给定任意PL度量 $d$ ,任意函数 $K^*:V\to (-\infty,2\pi)$ ，满足Gauss-Bonnet条件： $\sum K^*(v) = 2\pi \chi(S)$ ,那么在 $(S,V)$ 上存在一个PL度量 $d^*$ , 在相差一个相似变换下 （Scaling）唯一，使得

1. PL度量 $d^*$ 离散共形等价于 $d$ ，

2. $d^*$ 诱导的离散Gauss曲率为 $K^*$ ,

并且 $d^*$ 可以由离散曲率流方法得到。

如果我们令 $K^*=2\pi\chi(S)/|V|$ ，那么我们得到一个PL度量 $d^*$ ，它诱导了常值离散Gauss曲率。亦即， $d^*$ 等价于连续情形下的标准度量：球面度量，平直度量或双曲度量。

唯一性的证明

经典的曲面Ricci流将黎曼度量进行共形变换 $\mathbf{g}\to e^{2u}\mathbf{g}$ ，共形因子的演化方程被曲率所控制

$\frac{du(t)}{dt} = -2K(t)$ 。离散曲率流的发展方程具有完全一致的形式， $\frac{du_i(t)}{dt} = -2K_i(t)$ ，并且在流的过程中多面体的三角剖分依随PL度量的变化而变化，使得三角剖分一直是Delaunay。我们称这一曲率流为带手术的离散曲面Yamabe流。我们定义如下的熵能量，

$E(\mathbf{u})=\int^\mathbf{u} \sum_{i=1}^n K_i du_i$ ，

这里 $\mathbf{u}=(u_1,u_2,\cdots,u_n)$ 并且 $\sum_i u_i = 0$ ，则熵能量的梯度为 $\nabla E(\mathbf{u})=(K_1,K_2,\cdots,K_n)=\mathbf{K}}$ 。所以Yamabe流是熵能量的负梯度流。通过直接计算，我们得到熵能量的海森矩阵的正定性：令 $[v_i,v_j]$ 是一条边，临接两个面 $[v_i,v_j,v_k]$ 和 $[v_j,v_i,v_l]$ ，我们定义边的余切权重为 $w_{ij}=\cot\theta_k^{ij}+\cot\theta_l^{ji}$ 。因为三角剖分为Delaunay，所以 $w_{ij}>0$ 。曲率关于公形因子的偏导数为 $\frac{\partial K_i}{\partial u_j}=\frac{\partial K_j}{\partial u_i} = -w_{ij}$ ，同时 $\frac{\partial K_i}{\partial u_i} = -\sum_j \frac{\partial K_i}{\partial u_j}$ 。由此，熵能量的海森矩阵在凸集合

$U:=\{(u_1,u_2,\cdots,u_n)| \sum_i u_i = 0\}$

上正定，因此熵能量为严格凸函数。由熵能量诱导的梯度映射

$\nabla E(\mathbf{u}): U \to K=\{(K_1,K_2,\cdots,K_n)|\sum_i K_i = 2\pi\chi(S)\}$ , $(u_1,u_2,\cdots,u_n)\mapsto \nabla E(\mathbf{u})=(K_1,K_2,\cdots,K_n)$ 为单射。这样，我们证明了唯一性。

存在性证明

存在性的证明依赖于两个台希米勒（Teichmuller）空间之间的微分同胚的建立和经典的映射引理（mapping lemma）。大致思路如下：

1. (S,V)上所有的平直度量的离散共形等价类构成了一个Teichmuller空间 $T_{pl}$ ，（S，V）上所有的双曲度量的共形等价类构成另外一个Teichmuller空间 $T_d$ （顶点变成了尖点，并且被一horoball截除）。

2. 首先我们考虑如何建立Teichmuller空间的局部坐标，这一过程需要借助三角剖分。给定一个欧式或双曲度量，我们可以唯一确定一个Delaunay三角剖分。固定一个三角剖分T，所有以T为Delaunay的度量构成了Teichmuller空间中的一个胞腔（Cell），由此我们可以对Teichmuller空间进行胞腔分解, $T_{pl}=\cup_T D_{pl}(T),~T_d=\cup_T D_d(T)$ 。

3. 固定三角剖分T，在胞腔 $D_{pl}(T)$ 和 $$ $D_d(T)$ 内，度量d可以用T的边长来参数化，我们建立欧式边长和双曲边长间的对应，由此建立了欧式度量和双曲度量间的对应, $F_T:D_{pl}(T)\to D_d(T)$

4. 在此对应下，一个三角剖分在欧式度量下是Delaunay的，当且仅当这个三角剖分在双曲度量下是Delaunay的。由此，我们建立了胞腔之间的对应，以及胞腔内部的度量之间的对应。我们将 $F_T:D_{pl}(T)\to D_d(T)$ 粘和，得到全局的两个Teichmuller空间之间的微分同胚 $F:T_{pl}\to T_d$ 。

【两个Teichmuller空间】

我们考虑（S,V)上的所有PL度量的离散共形等价类组成的空间，我们称之为PL Teichmuller空间，

$T_{pl}(S,V)=\{(S,V,d)| PL~metric~d~on~(S,V)\}$ $T_{pl}:=\{(S,V,D)| PL~metric~d~on~(S,V,D)\}/\sim$

这里 $(S,V,d)\sim (S,V,d')$ 当且仅当它们之间存在和恒同映射相同伦的等距映射。 Troyanov证明过 $T_{pl}(S,V)$ 和 $\mathbb{R}^{-3\chi(S-V)}$ 同胚。然后，我们为PL Teichmuller空间建立图册。给定一个三角剖分T，令 $D_{pl}(T):=\{(S,V,d)|T~is~Delaunay~in~d\}$ 。Rivin曾经证明 $\{D_{pl}(T)\}$ 构成了 $T_{pl}(S,V)$ 的一个胞腔分解，

$T_{pl}(S,V)=\bigcup_{T} D_{pl}(T)$ 。

带尖点的双曲曲面	带装饰的双曲曲面

下面，我们介绍令外一个Teichmuller空间。考虑S-V上的所有黎曼度量，满足如下条件

1. 度量是双曲的，高斯曲率处处为-1，
   

2. 度量是完备的，所有测地线可以无限延伸。因此，所有尖点趋向无穷，

3. 曲面的总面积有限。

   
   

所有这种黎曼度量构成的Teichmuller空间记为 $T(S-V)$ ,

$T(S-V):=\{(S-V,d)| d~hyperbolic,complete,finite~area\}/\sim$ ,

这里 $(S-V,d)\sim(S_v,d')$ 意味着它们之间存在一个和恒同映射同伦的等距映射。

双曲理想三角形	双曲带装饰的三角形

在这种曲面（S-V，d）上构造一个三角剖分T，以V为顶点集，则曲面被分解为一族理想双曲三角形（ideal hyperbolic triangle）。如上图所示，双曲平面表示成庞加莱圆盘 $\mathbb{H}^2:=\{|z|<1\}, ds^2 = dzd\bar{z}/(1-z\bar{z})^2$ ，理想三角形的三个顶点落在无穷远的边界上。

再进一步，我们在每一尖点处用一个horoball来切除曲面（S-V,d）的尖角，就得到所谓的带装饰的双曲曲面（decorated hyperbolic surface）。令 $v_i \in V$ 为一尖点，过 $v_i$ 的horoball记为 $H(v_i)$ , $H(v_i)$ 和曲面（S-V，d）的交线长度为 $w_i$ ， $w_i = length(\partial H(v_i))$ 。记所有horoball和曲面交线的长度为 $w=(w_1,w_2,\cdots,w_n)$ ，则（S-V，d，w）代表了一个带装饰的度量(decorated metric)。

一个三角剖分T将（S-V，d，w）分解成一族带装饰的双曲三角形（decorated triangle），如上图右帧所示。红色的双曲测地线弧长代表边长，蓝色的弧长代表角度。如下图所示，如果同一条边上的两个horocircle相离，则边长为正；horocircle相切，则边长为0；horocircle相交，则边长为负。任意给定三个实数 $\{l_1,l_2,l_3\}$ ，则存在唯一的被装饰的三角形，其边长恰为 $\{l_1,l_2,l_3\}$ 。Penner介绍了所谓 $\lambda$ -长度： $L_i = e^{l_i/2}$ 。

边长为正的情形	边长为负的情形

由Penner的 $\lambda$ -长度，我们可以方便地写下被装饰的双曲三角形的余弦定理： $a_i = L_i /(L_jL_k)$ 。

我们记被装饰的双曲度量的Teichmuller空间为 $T_d(S-V)$ ,

$T_d(S-V):=\{(S-V,d,w)|~decorated~metrics\}/\sim,$

这里 $(S-V,d,w)\sim(S-V,d',w')$ 如果它们之间存在一个和恒同映射同伦的等距映射。根据定义，我们知道

$T_d(S-V)=T(S-V)\times \mathbb{R}^{n}_{>0}$

固定一个（S,V）的三角剖分T，顶点 $v_i$ 处的horocircle记为 $H(v_i)$ ，三角形 $[v_i,v_j,v_k]$ 的“外接圆” $C_{ijk}$ 同时和 $\{H(v_i),H(v_j),H(v_k)\}$ 相切。如果对于任意边 $[v_i,v_j]$ ， $[v_i,v_j]=[v_i,v_j,v_k]\cap[v_j,v_i,v_l]$ ，顶点 $v_l$ 处的horocircle

$H(v_l)$ 在“外接圆” $C_{ijk}$ 的外部，那么我们说T是在度量（S-V,d，w）下是Delaunay的。令

$D_d(T):=\{(S-V,d,w)\in T_d(S-V)| T~is~Delaunay~in~(d,w)\}$ ,  Penner证明了 $\{D_d(T)\}$ 构成了 $T_d(S-V)$ 的胞腔分解，

$T_d(S-V)=\bigcup_T D_d(T)$ 。

【Teichmuller 空间之间的微分同胚】

固定曲面（S，V）的一个三角剖分T，任给一个正值函数 $x: E(T)\to\mathbb{R}_{>0}$ ，存在一个（S，V）上被装饰的双曲度量 $d_x$ ， $d_x$ 以 $x$ 为 $\lambda$ -长度。 这是因为对于任意的 $\{l_1,l_2,l_3>0\}$ ，存在唯一的被装饰的双曲三角形以 $\{l_1,l_2,l_3>0\}$ 为 $\lambda$ -长度。

我们构造一个从PL度量的胞腔到被装饰的双曲度量胞腔的映射 $F_T:D_{pl}(T)\to T_d(S-V)$ :

我们可以证明如下两点：

1. $F_T(D_{pl}(T))\subset D_d(T)$ ，因为欧式Delaunay等价于双曲Delaunay，

2. $F_T(D_{pl}(T))=D_d(T)$ ，因为欧式Delaunay蕴含着三角形不等式。
   

进一步，在胞腔边界上，不同的映射彼此一致： $F_T|_{D_{pl}(T)\cap D_{pl}(T')} = F_{T'}|_{D_{pl}(T)\cap D_{pl}(T')}$ ， 这是因Penner的Ptolemy等式：

由此，我们可以得到如下的基本定理

定理： 将胞腔间的映射 $\{F_T\}$ 粘和在一起，得到整体的 $C^1$ 微分同胚 $F:T_{pl}(S,V)\to T_d(S-V)$ ，它保持胞腔分解。同时，如果两个PL度量 $d\sim d' \in T_{pl}(S,V)$ 离散共形等价当且仅当 $Proj(F(d)) = Proj(F(d'))$ ， 这里 $Proj:T_d(S-V)=T(S-V)\times\mathbb{R}^n_{>0}\to T(S-V)$ 是自然投影。

固定（S,V)上的一个双曲度量， $p\in T(S-V)$ ,  令 $P=\{(u_1,\cdots,u_n)|\sum u_i = 0\}\subset \mathbb{R}^n$ ， $Q=\{(K_1,K_2,\dots,K_n)|\sum K_i=2\pi\chi(S), K_i <2\pi\}$ , 考察如下的复合映射： $h:P\overset{exp}{\rightarrow}\mathbb{R}^n_{>0} \to \{p\}\times \mathbb{R}^n\subset T_d(S-V)\overset{F^{-1}}{\rightarrow}T_{pl}(S,V)\overset{K}{\rightarrow}Q$

这里 $F^{-1}:T_d(S-V)\to T_{pl}(S,V)$ 是Teichmuller空间之间的逆映射，K是从离散共形等价地PL度量到离散高斯曲率的映射。

因为映射 $K:\mathbf{u}\mapsto \mathbf{K}$ 为光滑单射，所以整体映射 $h: P\to Q$ 是光滑单射，P和Q都是单连通的（n-1)维流形，因此 $h(P)$ 为 $$ Q中开集。取P中趋向边界的序列 $\{p_i\}$ ， $\lim p_i \to \partial P$ ，可以证明其像点序列 $\{h(p_i)\}$ 趋向于Q的边界， $\lim~h(p_i)\to \partial Q$ 。因此 $h(P)$ 为Q中闭集，所以 $h(P)=Q$ 。

【应用前景】

离散曲面单值化定理实际上给出了实用的算法。只要目标曲率给定，我们就可以找到相应的黎曼度量。大量医学和工程中的应用可以归结为如何找到合适的黎曼度量问题，这一算法从根本上解决了这一问题。下面，我们给出单值化定理在各个领域中的最为直接应用：

计算机视觉 

曲面注册：给定两个三维曲面，寻找它们之间的最优微分同胚。利用单值化定理，曲面可以被映到平面区域，微分同胚可以在平面区域间建立。

表情分析和识别：将带有表情的三维人脸曲面共形映到平面区域，通过比较和分析共形因子和平均曲率函数，我们可以判断人的表情。共形因子包含和曲面的黎曼度量信息。

医学图像

共形脑图，大脑皮层曲面由核磁共振方法获取，将曲面沿着主要的沟回切开，共形映射到平面上。不同的大脑曲面可以相互比较，病变的区域能够被及时发现，并且可以用于制定手术计划，和手术导航。

逆向工程

在工业制造领域经常需要由三维点云来构造曲面，然后经由三维打印得到产品原型。由此得到的离散曲面需要保证逼近精度。我们将离散曲面共形映到典范区域，然后用Delaunay Refinement方法重新三角剖分，如此得到的离散曲面可以保证曲率测度的收敛。

计算机图形学

曲面参数化是图形学领域的一个基本问题，将三维曲面映到平面区域同时尽量减少畸变一直是人们追寻的目标。单值化定理的应用可以保证参数化的结果没有角度的畸变，进而可以复合最优传输映射，得到保持面元的映射。

几乎所有和三维几何发生联系的领域，单值化定理和离散曲率流都会得以应用。我们相信，曲面单值化定理的根本重要性必会被科技人员所广泛认识和接受；我们期待，这一理论和她引发的技术在各个领域中的广泛传播。曲面单值化定理的高维推广必将掀开又一激动人心的乐章。

【经验和教训】

在过去的十数年里，因为曲面单值化定理的根本重要性，世界各地的数学家和计算机科学家都在努力尝试建立这一理论离散的版本。中国数学家，德国数学家，法国数学家，以色列数学家等不同的团体展开了激烈的竞争。但是绝大多数的努力付诸东流。

在过去的数年间，中国数学家的团队（罗锋，孙剑，顾险峰，郭韧，吴天祺等）为此殚精竭虑。开始的时候，我们一直试图在固定三角剖分下证明单值化定理，无论经过怎样的曲折迂回，一直无法回避在曲率流中三角形退化的本质难点。后来孙剑提议考虑动态三角剖分，在曲率流中始终保持三角剖分为Delaunay。终于一切豁然开朗，证明也呼之欲出。我们认识到，曲面的离散化应该顺应其黎曼度量，Delaunay三角剖分由度量唯一决定，是最为自然的离散化方法。在曲率流中动态变化三角剖分以保持Delaunay，这一方法并非人为的权宜之计，而是盘活整个理论的关键。长期不懈的努力，加上深刻的洞察，使得中国数学家团队率先证明了离散单值化定理。

依随三维技术的迅猛发展，作为时代的生长点，离散几何领域必将日益壮大，未来的竞争会愈发激烈。我们由衷期待更多的年轻学子加入进来，为推动这一数学和计算机科学的交叉领域做出贡献！