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哥德尔不完全性定理的内容和有效范围(6) 何谓“真”？

程京德

为了澄清众多中文出版物和网文中对哥德尔不完全性定理的各色各样误读、误解、误传、误用和歪曲，笔者曾以一系列科学网博文对哥德尔不完全性定理做科普工作， 以期帮助非专业一般人士更准确地理解哥德尔不完全性定理的内涵，帮助人们认清现在社会上人工智能汹涌浪潮中对哥德尔不完全性定理的各色各样曲解和误用。

今天，微信公众号“哲学园”以“人工智能的逻辑极限”（关于这个题目将在本文最后言及）为题推荐的一组两篇文章[1,2,3]，又让笔者发现，对哥德尔不完全性定理的误解和误用中还有一个侧面是笔者在以前的科普博文中忽视了的：数学定理的“真”与哥德尔不完全性定理之关系。

首先，“真”在哲学、逻辑哲学、数学哲学中都是最基本的概念。一般地说，数理逻辑仅仅研究、定义和使用“逻辑真”，而不涉及“真”的其它性质。

其次，关于基于经典数理逻辑的一类数学形式系统（亦即，PM及相关系统）之完全性给出否定性断定的“哥德尔不完全性定理”，并未在其断定内容中明晰地直接地言及任何数学形式系统中数学定理的“真”；也就是说，哥德尔不完全性定理的前提中仅要求对象形式系统是一致的（亦即，从语义来说没有既被解释为“真”又被解释为“假”的定理，或者从语构来说没有一个表达定理的逻辑式及其否定同时存在），并不涉及任何对象定理在什么样的评价标准下的“具体真”或“具体假”（请读者参阅本系列博文的前面几篇）。

再次，任何数学定理的“真”，在该数学领域中是需要有清晰评价标准和范围界定之后方才有意义，不是可以随便任意断定的。比如，对于认可和基于经典数理逻辑工作的数学家来说，当显示了一个具体定理之否定为“假”或者不可能为“真”之后，就可以基于排中律断定该定理必定为“真”；但是，这一断定对于不认可经典数理逻辑及排中律的、认可和基于直观主义逻辑工作的数学家来说，却是完全不可接受的，也就是说，不可断定该定理为“真”。

做了上述准备，下面让我们来看具体实例。

在“人工智能的逻辑极限”一文中，作者写道，“哥德尔定理告诉我们：在任何包含初等数论的形式系统中，都必定存在不可判定命题。有了图灵机概念之后，它的一个等价命题是，任何定理证明机器都至少会遗漏一个真的数学命题不能证，这就是数学的算法不可穷尽性。这一性质被许多人用来作为“在机器模拟人的智能方面必定存在着某种不能超越的逻辑极限”的论据。”

笔者认为，且不论上文作者对哥德尔不完全性定理缺乏严谨陈述，其主张的“等价性”是不存在的。首先，利用图灵可判定性概念，我们最多可以把哥德尔不完全性定理之结论转述为“在对象系统中必定存在某些图灵不可判定的命题，其本身或者其否定在系统中都不能用一台图灵机判定。”这与作者所陈述的“等价命题”，“任何定理证明机器都至少会遗漏一个真的数学命题不能证”完全不是一回事。其次，在把什么是“数学的算法不可穷尽性”定义清楚后，这个问题是可以讨论的；但是，哥德尔不完全性定理实质上完全没有为此根本未定义清楚的问题提供任何依据，所谓“等价性”当然不存在。最后，既然作者主张的“等价性”跟本就不存在，那么以此“等价性”来作为“在机器模拟人的智能方面必定存在着某种不能超越的逻辑极限”这种荒谬命题的论据就更无意义了。

在“人工智能的逻辑极限”一文中，作者还写道，“哥德尔第二不完全性定理的一种形式是说，任何恰当的定理证明机器，或者定理证明程序，如果它是一致的，那么它不能证明表达它自身一致性的命题是定理。”

相比于哥德尔第二不完全性定理的准确陈述（“对于一个基于经典数理逻辑的、递归的、一致的形式系统，表达其一致性的命题在该系统中不可证”，请参阅笔者的系列博文第一篇），上文作者的上述荒谬陈述可实在是错的离谱。首先，从逻辑学来说，任何定理证明程序（说定理证明机器就更荒谬）在概念上绝不等价于数理逻辑中的一个形式系统，无论它怎么“恰当”。其次，不知作者从哪里借来或者自创出“定理证明程序的一致性”这一概念。如同我们在本文开始所介绍的，“一致性”或者“无矛盾性”，是与“真”相关联的逻辑概念，笔者作为一个计算机科学家，从未在计算理论或者程序理论的正规著述中看到过“程序有一致性”这种荒谬说法。第三，在数理逻辑中，我们说“一个命题在对象系统中不可证”是指在该系统中，（逻辑学家）无法找到一个形式证明步骤序列以该命题为结束；如果将此事实陈述为一个定理，那么这是关于该系统性质的元定理（在此意义上，哥德尔第二不完全性定理是说作为元定理的系统一致性命题在该系统中不可证）。这完全不意味着该系统自身“能够证明”或“不能够证明”什么。上文作者对元逻辑系统、对象逻辑系统、形式系统、基于形式系统工作的逻辑学家这些概念或层次混淆不清，所以才有如上对哥德尔第二不完全性定理的错误陈述。

在“丘奇—图灵论点与人类认知能力和极限”一文中，作者写道，“数学和科学是不完备的。基于哥德尔不完备性定理—没有一个演绎推理系统能够回答所有的利用该系统的语言所描述的问题。每一个足够有力量的、一致性的逻辑系统都是不完备的—人们已经认识到数学是不完备的。”

上文作者的上述论述从数理逻辑学的角度来看就是胡说， 理由请参阅笔者本系列博文前面的文章，此处不再赘述了。

最后，在笔者看来，包括题目“人工智能的逻辑极限”在内，上述两篇文章中不直接涉及哥德尔不完全性定理的陈述或主张还有许多问题，但是就不在这篇对哥德尔不完全性定理进行科普的博文中讨论了。

笔者将继续注意关于哥德尔不完全性定理的引用，一旦发现对哥德尔不完全性定理究竟证明了什么的误读、误解、误传、误用和歪曲，继续在这里做澄清工作。

（2020年3月23日记）

参考文献

1. 哲学园公众号，“人工智能的逻辑极限” 2020-03-23。

2. 刘晓力，“人工智能的逻辑极限”《哲学动态》2001年增刊?期 第22-25页。

3. 郭贵春，郝宁湘，“丘奇—图灵论点与人类认知能力和极限”《齐鲁学刊》2004年第05期第65-70页。