上回书说到昂萨格用代数法求出了二维长方伊辛模型的精确解，但求解过程艰涩难懂。据杨振宁先生回忆，当时杨先生想从事相关的工作，花了好长时间钻研昂萨格的文章，感觉被昂萨格求解过程牵着鼻子走，绕来绕去，不知所以然，最后凭空掉下一个精确解。这种感受搞得杨先生非常泄气。后来，杨先生见到昂萨格，很好奇，问他怎么做出精确解的。昂萨格答曰：先将两条一维伊辛模型自旋链连起来，对矩阵对角化；再加上一条链，对矩阵对角化；再加上一条链，…… 大家可以想象，随着考虑的自旋链数增加，矩阵的阶数增加，对矩阵对角化的工作量成指数增加。一般人早就放弃了。昂萨格越战越勇，对矩阵对角化越来越熟练，从而可以做出十多个自旋链连起来的系统的精确解。当然，如果昂萨格一直这样做下去，将没有尽头，因为二维伊辛模型是由无限多个自旋链连起来的系统。那将无异于唐吉科德大战风车。昂萨格聪明就聪明在从上述的求解过程中找到了一些规律性，猜出了二维伊辛模型的精确解。而他的文章中的代数法求解过程只不过是 “马后炮”。根据猜出的精确解的结果，反过来推出求解过程。实际上，在求解一些世界性难题时，这是许多科学家的秘密武器。就是科学家的直觉在解决问题时起到关键性的作用。而Kramers和Wannier等人利用对偶性精确确定的居里点的结果在昂萨格的求解过程中起到了重要的引导作用。昂萨格的工作第一次清楚地证明从一个没有奇异性的系统哈密顿量出发，在热力学极限下能导致热力学函数在临界点附近的奇异行为，它向以前的所有相变理论提出了严重的批评：在临界点，比热不是不连续，而是对数发散！昂萨格的工作在量子统计物理领域具有重要的意义。学术界一般都认为这项工作是诺贝尔奖级的。但诺贝尔物理奖评奖委员会就是不给他发奖。最后，诺贝尔化学奖评奖委员会忍不住，于1968年给昂萨格颁发了诺贝尔化学奖。当然，得奖的工作是他1931年发表在《物理评论》的“Reciprocal relations in irreversible processes”。这是在不可逆热力学方面的一项原创性工作：不可逆过程的倒数（对易）关系。在诺贝尔化学奖的颁奖词中提及，颁奖还由于昂萨格其它的著名工作，如伊辛模型的精确解，云云。昂萨格本人似乎对伊辛模型的工作没有得诺贝尔物理奖有一点点看法。在颁奖晚宴的致词中说：我从来没有梦想到会因为倒数关系得奖。言外之意是：该得的没得。昂萨格牛就牛在做出了许多高水平的工作。昂萨格得奖的工作也是有深远意义的。在发表几十年后，近十年的引用与伊辛模型精确解的文章的引用差不多，都有很多的引用。得奖不得奖的差别只在毫厘之间。顺便说一句，昂萨格早年由于不善教课、以及做出的工作不能被化学系的教授理解和认同，先后离开了Johns Hopkin大学和 Brown大学，最后到耶鲁大学任教。一个名校之所以成为名校，就是要有海纳百川的气度，才能大师云集。

1949年昂萨格带的一个女学生Bruria Kaufman给出了一个简便优雅的求解方案。当然，求解过程还是满复杂的。在这里无法介绍得非常详细。简单地说，与能带理论可以在三维方向引入玻恩-冯卡门周期性边界条件不同，求解伊辛模型时仅能引入一次周期性边界条件。这是由于能带理论将问题简化为一个电子在晶体的三维周期势上的运动，而伊辛模型是许多自旋之间的相互作用问题，是一个多体问题。所以，在求解二维伊辛模型就比一维复杂多了。一维可以将问题简化为对2´2矩阵求能量本征值。二维就要面对两个2^N´2^N矩阵相乘后求能量本征值问题。如果考虑磁场的作用，就要考虑三个2^N´2^N矩阵相乘后的对角化问题，情况更复杂，至今无精确解。所以，下面不考虑磁场的存在。首先将两个2^N´2^N矩阵用泡利自旋矩阵表示，写成泡利自旋矩阵直乘及其乘积的线性组合，构成这两个矩阵的自旋表象；然后，通过两个引理证明自旋表象矩阵的本征值对应于相应的2N´2N转动矩阵的本征值；从转动矩阵具有特殊的形式，可以列出容易求解的本征值方程，求出本征值；返回去求出系统的能量本征值。这就OK了。当然，Kaufman还花了大量的篇幅讨论了复杂的边界问题。由于在热力学极限下，边界问题可以忽略不计，不在这里介绍了。从这以后，二维伊辛模型的求解变得简单了。许多科学家纷纷加入，找到了许多更简单的方法，甚至有人发表了题目为“伊辛模型的第399种求解方法”。也求解出其它类型的二维伊辛模型，如三角、蜂窝、Kagomé等模型及其变种。但是，具有次紧邻相互作用的二维伊辛模型和磁场下的伊辛模型至今没有精确解。再提一下，昂萨格也没有在Kaufman的那篇文章中署名。斗转星移，在科研已经大众化、娱乐化，“老板”、“包工头”已逐步演变成导师的代名词，各种考核和评比满天飞的当今，要理解愣茨、昂萨格式的高贵已有一定的难度了。

昂萨格的文章仅给出二维伊辛模型的本征值、配分函数、自由能、比热等的精确解。自发磁化强度的求解需要加上磁场，而磁场下的伊辛模型至今没有精确解。但这不影响昂萨格在1940年代末的两次国际会议别人的报告的讨论中，在黑板上写下自发磁化强度的精确解的公式。当时的国际会议文集不但发表学术报告的正文，还发表报告后的讨论内容，所以有相关的记录。但昂萨格到去世也没有公开他的自发磁化强度的精确解的求解过程。他到底是推导出的，还是猜出来的，看来永远是个谜了。学术界公认是杨振宁先生给出自发磁化强度的精确解的求解证明，杨振宁先生向Kaufman借了她的学习笔记，理解了昂萨格1944年文章的精神后，花了一个假期的时间，1952年用微扰法加微小磁场严格证明了二维伊辛模型的自发磁化强度的精确解。当然，证明过程非常复杂，一般的教科书不讲过程，只给结果。大家如果感兴趣，可以看他的原文。象杨振宁先生这样牛的人非常少见，一生做出了数十项与二维伊辛模型自发磁化强度精确解同等量级的工作，三、四项公认的诺贝尔奖级的工作。最后，说一点关于Kaufman的八卦，Kaufman也是牛人一个，大学里听诺贝尔奖得主费米讲课，然后师从诺贝尔奖得主昂萨格，毕业后做诺贝尔奖得主爱因斯坦的博士后兼秘书，一个不小心将学习笔记借给诺贝尔奖得主杨振宁，与发现氢原子精细结构的诺贝尔奖得主兰姆(Willis E. Lamb)相恋多年，最后于1996年终成眷属。总结起来也是一个字：牛！

(详细内容见Zhi-dong Zhang, Conjectures on the exact solution of three - dimensional (3D) simple orthorhombic Ising lattices, http://arxiv.org/abs/0705.1045)  

已发表在Philosophical Magazine, 87(34), 5309 – 5419 (2007)。http://dx.doi.org/10.1080/14786430701646325