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我国科学家黎曼猜想研究取得重要进展

    黎曼猜想是数学中最核心的基础性问题，与物理、计算机等领域有非常紧密的联系。最近中国科学院金属研究所张志东研究员在黎曼猜想研究方面取得重要进展。研究结果发表在国际学术刊物Physics Letters A 591 (2026) 131910。

1744年欧拉揭示一个求和系列可以写成对所有素数乘积的形式。1859年黎曼通过复数分析解析拓展了欧拉函数，提出黎曼猜想：黎曼zeta函数的所有非平凡零点都在复数平面实数为1/2的临界线上。1914年哈代证明在临界线上存在无限多个零点，但是这个结果弱于黎曼猜想。因为黎曼猜想要求所有的非平凡零点都在临界线上。我们可以将黎曼zeta函数推广到狄利克雷函数得到广义黎曼猜想：狄利克雷函数的所有非平凡零点都在复数平面实数为1/2的临界线上。

学术界有几种尝试解决问题的路径未获成功：1)用计算机寻找黎曼zeta函数的非平凡零点。2)确定多少比例的非平凡零点落在临界线上。3)给出黎曼zeta函数的零点密度估计。这些尝试无法成功的原因是：有限数值的计算机验证与无限性逻辑证明之间存在巨大鸿沟。所有数论工具都是局部性的，无法证明问题的整体性。该问题位于分析、代数、几何和数论的交叉深处，映照出人类对无穷和算术结构理解的边界。需要拥有统一视角或发明革命性工具，建立一个素数分布的深层结构。

一个具有活力的研究方向是将黎曼zeta函数与物理体系相联系。希尔伯特和波利亚提出希尔伯特-波利亚猜想：狄利克雷函数的所有非平凡零点为算符 的谱，其中为单位矩阵, 为一个物理体系哈密顿的自伴随算符。如果希尔伯特-波利亚猜想成立，则广义黎曼猜想成立。1967年维格纳建立随机矩阵理论。1972年蒙哥马利发现临界线上非平凡零点统计分布的规律。戴森发现蒙哥马利统计分布的规律与随机厄密矩阵的对关联分布一致，证实黎曼zeta函数非平凡零点分布与高斯幺正系综的随机厄密矩阵特征值具有同样的统计规律。贝里等科学家进一步建立黎曼zeta函数与物理体系以及统计物理的联系。这一条路径的关键是建立一个适当的高斯幺正系综物理模型，证明其配分函数零点与狄利克雷函数的零点分布的等价性以及其所有能量本征值为实数。

张志东研究员构建了一个沿着两个晶体轴分别具有铁磁性相互作用和随机分布铁磁性/反铁磁性相互作用的竞争性二维伊辛模型。证明了竞争性二维伊辛模型配分函数与狄利克雷函数的零点分布的等价性。竞争性二维伊辛模型的哈密顿为自伴随算符，体系为高斯幺正系综，转移矩阵和对应的旋转矩阵为随机厄密矩阵。利用昂萨格和考夫嫚的二维伊辛模型精确解证明竞争性二维伊辛模型的所有能量本征值为实数，并且如莫比乌斯函数、狄利克雷函数、黎曼zeta函数一样随机分布。证明了竞争性二维伊辛模型的本征矢量由一维伊辛模型本征矢量与黎曼zeta函数相关的相构建，形成希尔伯特-波利亚空间。利用李-杨相变理论配分函数零点的单位圆定理以及费舍尔零点，证明竞争性二维伊辛模型的配分函数的所有零点分布在复数温度平面的单位圆上。证明了配分函数零点分布的封闭性以及单位圆的唯一性。通过映射将唯一的单位圆变换成唯一的临界线。将配分函数零点分布映射成狄利克雷函数以及黎曼zeta函数在临界线上的零点分布。从而证明了狄利克雷函数（包括黎曼zeta函数）零点分布的封闭性，证明了希尔伯特-波利亚猜想。

本项工作将黎曼zeta函数的零点分布与竞争性二维伊辛模型联系起来。将统计物理、随机矩阵理论、数论相关联。利用竞争性二维伊辛模型作为一个物理类比物，证明广义黎曼猜想（包括黎曼猜想）为真。为深入理解和升级广义黎曼猜想铺平了道路。

论文链接：

https://doi.org/10.1016/j.physleta.2026.131910

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