在前一篇博文《证明黎曼猜想保角变换之答复》，大呆答复了一些网络文章对我证明黎曼猜想工作的质疑。我的论文中前后两个部分是两条证明路径。论文前一部分涉及模型构建以及物理性质，已经证明了希尔伯特-波利亚猜想（广义黎曼猜想）；论文后一部分涉及李杨单位圆和保角变换，主要是证明零点分布的封闭性。打一个形象的比喻：这两个部分不是串联电路，而是并联电路。保角变换定义域问题仅断开了第二条电路。但是，只要并联电路中其中一条是通的，整个电路仍然是通的。另外，我们可以利用第一条电路辅助接通第二条电路。所以，证明黎曼猜想的过程整体上没有问题，仅需要添加两句话补充说明即可。

另外，一些网络文章对我论文中李杨单位圆有质疑，认为李杨单位圆定理是针对铁磁性伊辛模型，可能不适用于竞争性二维伊辛模型。现对相关问题做如下答复：

在李政道和杨振宁两位先生的论文中，李杨单位圆定理证明的是一维铁磁性加磁场伊辛模型。他们强调了该定理的普适性，对相互作用的范围、晶格的维度、晶格的尺寸和结构、晶格的周期性质等不敏感。后来，费舍尔(Fisher)将李杨单位圆定理拓展到二维伊辛模型。发现铁磁性二维伊辛模型、反铁磁性二维伊辛模型在复温度平面分别有一个单位圆。这两个模型对应两个完全极端的相互作用条件。我证明黎曼猜想时构建的竞争性二维伊辛模型非常精妙。沿着一个晶体轴方向全是铁磁性相互作用，另一个晶体轴方向为铁磁与反铁磁相互作用的竞争。分析不同相互作用的占比，铁磁性相互作用在体系占3/4。可见，铁磁性相互作用在体系中占主导地位，所以竞争性二维伊辛模型存在铁磁性到顺磁性的相变。这方面有参考文献给出相变临界温度的严格表达式。这个模型整体上属于铁磁性二维伊辛模型，对应地存在一个费舍尔单位圆。并且，我们已经证明竞争性二维伊辛模型的能量本征值E_n全为实数。将能量本征值作为旋转角度，将exp(iE_n)表示在复数平面上，这些旋转角度肯定分布在单位圆上。

一些网络文章提及，有团队尝试将我证明黎曼猜想的工作拓展到随机二维伊辛模型遇到困难。在我的arXiv论文中进行过这方面的探讨。随机二维伊辛模型沿着两个晶体轴方向都是随机分布的铁磁/反铁磁相互作用。由于不同类型相互作用的竞争过于强烈，不发生铁磁性到顺磁性的相变。所以，随机二维伊辛模型不适合用来证明黎曼猜想。为了简洁起见，在正式发表的Phys. Lett. A论文中删除了相关内容。请参阅arXiv论文。

       证明黎曼猜想论文：Z.D. Zhang, Physics Letters A 591 (2026) 131910.

https://doi.org/10.1016/j.physleta.2026.131910

https://arxiv.org/abs/2411.16777

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