天气晴朗，雪后的空气非常清新。我来到东京六义园公园。公园不大，设计得非常雅致，深得中国江南园林的精髓。尽管没有苏州园林的精致，也少了一些人工雕琢，融入了更多的自然元素。园里苍松翠柏，古槐成荫，参天的古树透露出历史的沧桑。白雪皑皑，乌鸦声声。越发显得在闹市中少有的宁静气氛。一洼小湖，倒映青松白雪和蓝天，从湖边不同的地方看，一步一景。在公园深处，有一树红梅花开正艳。公园里几乎没有游人，非常安静。我踏雪赏梅，享受着都市中难得的安静，在清闲中调节心情，迎接即将到来的头脑风暴的洗礼。

这是2014年2月17日，东京前几天刚刚下过一场几十年未遇的大雪。我应铃木理（Osamu Suzuki）教授的邀请访问日本。在2013年我邀请数学军团的数学家访问沈阳，对三维伊辛模型的问题进行了研讨。在铃木理访问沈阳期间，我们俩开始了合作研究。这次铃木理邀请我访问日本，访日时间是2014年2月16日-25日，目的是与铃木理教授开展三维伊辛模型表示理论的合作研究。16日晚到达东京，入住Nihon University客座学者公寓。17日由于日本大学新生入学考试，我自由活动。上午就在住处附近的六义园公园走了走。期间于2月19日-21日和铃木理教授一起访问日本京都大学，与京都大学数理科学研究所小嶋泉（Izumi Ojima）副教授一起对三维伊辛模型与微观-宏观对偶关系进行了讨论。我通常没有记笔记的习惯。当年，访日回国后，为了纪录访日期间的学术讨论过程和感受，我特地写了一个访问总结。现在将访问总结做了适当的精简，删去一些学术上的技术细节，分两篇博文发布。应该说，基本上反映了我当时的状态和心境以及学术讨论的过程。原汁原味。通常，一项成果取得后，大家往往是向大众公开最后的成果，很少有人介绍获得成果的过程。而大呆认为，科研成果的取得固然重要，其中探索的过程更有价值和参考意义。科学探索的旅程通常不是一帆风顺的，充满艰辛和曲折，有在浓浓迷雾中摸索前行的迷茫，有狂风暴雨式学术辩论的洗礼，有遭遇巨石拦路此路不通的困顿，有攀登悬崖峭壁命悬一线的惊险，甚至有从高处掉下谷底从头再来的悲惨境地，也有曲径通幽的豁然开朗，有和风细雨般的学术讨论，有闲庭信步欣赏美景的云淡风轻，有在林间小径仰望星空的超然心境，有发现顶峰再望的欣喜若狂，。。。科学探索的过程是一位科学家的最大收获，从中收获的乐趣、体验和人生感悟是大自然对探索者最大的奖赏，也是最具有独特性甚至是唯一性的。所以，我们不仅要注重于科研成果的科学普及，还要注重对科学研究探索过程的介绍，以弘扬科学探索的精神。

这是我第一次访问日本。这是一次文化体验的旅途，短短的10天，对日本这个国度有了一些初步的了解。这是一次科学求索的旅途，两个不同领域的科学家充满激情地交流和讨论，擦出探索发现的火花，收获了丰硕的研究成果。这也是一次弥漫友情的旅程，两个忘年之交，在最自然的状态下展现自身的特点，交流对人生的体验和乐趣。

2014年2月18日

和铃木理一起乘地铁山手线到新宿，换乘京王线，到下高井户站，来到日本大学情报科学系的教学楼。铃木理还有一个月退休，有点伤感。他的书籍什么的都已经搬回家了。他的办公室仅剩下桌子和一台电脑和几个纸箱子，因为搬家显得比较乱。所以，我们的讨论没有在他的办公室，是在古市茂教授的办公室进行的。当天的讨论，首先是确认上次（2013年9月）他访问中国时有关矩阵的特殊算法的工作中遗留的一些疑问。需要静下心来仔细地推导。一些小的细节上的错误导致当天的推导失败。我们约定第二天继续推导这个问题。但是，第二天是去京都，讨论的话题随地点、场景而变化，讨论的兴趣点发生了转移。以我们俩后来讨论的激烈程度，已经无法静心地推导这个问题了。

2014年2月19日

坐新干线去京都。在火车上，铃木理先睡了一小觉，然后来了精神，开始讨论。到达京都，我们直接坐公交车去京都大学。我们俩在京都大学数学系一个咖啡室里讨论。咖啡室有几个白板，很方便写、擦和讨论。讨论一下午，非常成功！我向他讲了总体的思路，回顾了一下我的猜想的物理内涵和数学基础，最后他基本理解了我的想法。他认为可以往下做，证明猜想。明早他会把今天下午讨论的东西整理出来，总体思路以及今后要做的框架，他甚至认为也可以证明我提出的旋转角度K'''。今天重大突破是，他以前做博士后时做过的一个工作是关于黎曼-希尔伯特问题，他从沈阳回日本后给我邮寄过他的文章。今天在火车上理清楚了这个问题的主要点，因为他好久不做了。这个问题是对级数展开函数的求导求积分的问题。我发现，这跟我做的三维伊辛模型高温展开的问题正好连上了。（在火车上）在旁边看他推导时，我发现这与我跟Perk教授争论的问题类似。Perk教授认为，在无穷大温度应该研究bf（温度的倒数乘以自由能）的奇异性，我认为应该研究自由能f的奇异性。他认为两者一样，只是前面有一项发散项，是正常的发散(regular singularity)，没有意义。今天跟铃木理讨论发现，这个所谓正常发散如果求导的话就会出现相因子的变化，所以说在无穷大温度那里肯定有相因子的变化，这是确定的了。这样就反驳了Perk教授说的无穷大温度那里奇异性没有意义的说法。

今天我需要重新给铃木理讲解一遍，他虽然看过我的文章，但需要我讲解关键点在哪。今天在京都大学讨论时我讲得很详细，把三维伊辛模型以及两个猜想的整体思路、关键步骤、关键点都讲了。包括从哈密顿量到三个转移矩阵，对哈密顿量（三个转移矩阵）和波函数一起做变换，将系统变换成四个转移矩阵和新的波函数。用二维解的波函数加权重因子来构建三维解的波函数。转移矩阵V₃中存在拓扑纽结（对应的G矩阵的形式），用矩阵一个特殊算法来去除纽结的设想。并且，我认为，三种去除纽结的途径（在高维旋转、加反纽结、外科手术）是等价的。他不认可加反纽结、外科手术，认为是改变了系统。我还介绍了，可以将三维哈密顿量围绕奇异点绕一圈，从而有N个三维哈密顿量，对N个三维哈密顿量求和获得（3+1）维哈密顿量后一起做变换再求平均。用四元数表示（3+1）维以及三维体系的解。他表示同意，认为三维哈密顿量围绕奇异点绕一圈后，产生GAP，即相因子。这个过程数学上叫universal covering以及monodromy representation。他认为从3+1维再回到三维，经历一个分解的过程，可以用二维的解在四元数框架表示。

然后，他对我说的变换是不是幺正变换提出异议。我强调有一个Wigner定理，在时空中每个变换都是幺正或者反幺正的。他后来同意在大的空间的变换可以是幺正的（注：现在看来，他在这里的直觉是对的，变换不是幺正的，是规范变换）。

他基本认同我的想法，而且他认为这东西在拓扑学看来太简单了。他需要进一步考虑的问题是，我提出的加一维变换、权重因子的产生、从三维扩到3+1维，从3+1维再回到三维，怎么用拓扑学语言描述，他基本有思路，但他的描述跟我的不一样。可能还需要把我前一阵发表的文章给他看，让他对我的进展有些了解，他再用他的语言来描述。用什么语言都可以，如果他愿意增加一种语言来描述就更好，使数学家更容易理解和介入。今天的讨论比较乐观。建立无穷大温度处的奇异性和权重因子产生的关系，加一维及从四维到三维加旋转变换和拓扑学之间关系都有了认识。他基本认同我的观点，从拓扑学的角度。如果能把K'''证明就完整了。

铃木理的基础很好，76年博士毕业，在德国马普研究所做博士后两年。在博士后期间做得比较艰难，试图证明许多猜想，都没有成功，有点失去对科研的兴趣。日本的体制决定他们不热衷于写文章，也没有工作压力。感兴趣就做做，不感兴趣就无所谓。我的问题他稍感兴趣，但他没有压力，也不着急解决这个问题。可能感觉到这个问题的意义很大，铃木理好像也开始很感兴趣了。

2014年2月20日

上午去京都大学和铃木理讨论。昨天回宾馆后，他整理了昨天的思路，但感觉K'''还是不行。又讨论了昨天理论框架的细节，首先是Riemann-Hilbert问题与高温展开发散的对应关系：

可以证明与的解w和w'由于f中奇异性的存在其性质有本质上的不同，有奇异性的解会出现多值性。从而反驳了Perk的观点（Perk认为f和bf的展开的收敛半径和展开系数都是一样的）。

四元数表示成复数的直乘。纽结K在四元数黎曼面上表示从点变成了线。。。

最后，我向他说明在时空中进行时间平均，以及用约当代数和约当-冯·诺依曼-维格纳过程进行时间平均。他很快就接受了我的想法。他对我第二个猜想的构成有疑问，不理解为什么可以返回到昂萨格二维解的波函数。中午吃饭前去找京都大学小嶋泉教授，一起吃的午饭（鱼加米饭）。

午饭后，回到小嶋泉的办公室，三个人一起讨论，相关内容写在黑板上，不同颜色的字叠在一起比较乱。主要内容是，我将我的两个猜想向小嶋泉做了介绍。首先是介绍三维的哈密顿以及转移矩阵，其中含有纽结。做旋转变换，用二维的本征矢量构成四元数的本征矢量形成三维（或者3+1维）的本征矢量，并引入权重因子。小嶋泉主要提及二维、三维和四维对应的旋转变换的代数。又提及四元数H为non-commutative division algebra

然后我提及时间平均以及系综平均，引入第四维时间以及时间与温度的关系。小嶋泉提及量子场论中已经有类似的关系，然后我就说这里实际上涉及复数温度（时间），他表示理解。但是我没有想在此深谈这个问题，就一带而过了。

    然后，我向小嶋泉介绍我们发展的一种矩阵的特殊算法以及如何用反纽结消去纽结，用约当代数进行时间平均。小嶋泉提及约当代数有associatively cocycle的性质：[A,B,C] = (AB)C – A(BC)。铃木理向他解释，我利用约当代数仅仅是将公式写成对称的形式，不涉及associatively cocycle的性质。小嶋泉提及Wick product以及李群的不可约表示G/T G_C/B。在说到约当代数时，小嶋泉提及Koecher product。关于Koecher product的讨论，我不知所云了。看上去与我们三维伊辛模型的工作无关，在讨论的过程中，两个日本人也交流了一些数学上的问题，我也基本上是一窍不通，坐飞机了。

现在基本上猜想一和猜想二问题不大。虽然铃木理对三维退回二维的形式有疑问，但小嶋泉认为没有问题，搞物理的人都是这么做的，可以通过二维解的形式构建高维解。所以铃木理听到小嶋泉同意我的观点后充满自信，认为猜想二问题也不大，还是可以做下去的。如果K’’’问题暂时做不了，就先放那吧。

对于三维解回到二维的问题，我认为二维是特解，用特解构成普适性的解没有问题。开始铃木理觉得仅是用二维构成特殊解，而不是普通解。跟他解释说，我构成波函数后，我能把薛定谔方程求解了，就证明找到的是普通解。它既是数学问题也是物理问题，在数学上有对应关系。

请大家关注： 终结猜想-13-京都论道

参考文献（三维伊辛模型精确解研究三部曲）：

1. 提出两个猜想：Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

2. 初探数学结构：Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

   https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

3. 证明四个定理：Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12。https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2