不确定性的困惑与NP理论分享 http://blog.sciencenet.cn/u/liuyu2205 平常心是道

博文

罗素回应哥德尔定理(译文)

已有 746 次阅读 2022-11-18 16:07 |个人分类:解读哥德尔不完全性定理|系统分类:科研笔记

这是Alasdair Urquhart的文章“Russell and Gödel” 的第三章“3. Russell’s response to Godel’s theorem”的译文:

https://www.academia.edu/27310325/Russell_and_G%C3%B6del


3. 罗素回应哥德尔定理


伯特兰-罗素在1913年《数学原理》第三卷出版后离开了逻辑学。1948年,谈到他与怀特海的合作,他写道:

  • 我们两个人都不可能再写这本书了;即使在一起,并通过相互讨论带来了缓解,情况是如此严重,以至于最后我们都带着一种厌恶从数理逻辑转向其他 [26, p. 138]

罗素的唯一后续逻辑出版物是他介绍第二版的Principia和一篇晚期的论文,讨论使用怀特海的广泛抽象的方法建设的瞬间这最后一篇文章产生于他在物理学方面哲学工作


尽管正如我们在上文第2.2节中所看到的,罗素预见到了哥德尔的不可判定句子的一些基本构造,但他是否完全理解不完备性定理,仍然是一个令人困惑的问题,证据稀少,很难解释。


罗素是在不完备性结果出现后不久知道的,在 McMaster 大学的罗素档案有一个1931年不完备性的论文印刷本[7],但它有一个题词显示,它最初属于伯爵夫人Amethe von Zeppelin,卡纳普(Carnap)的语言逻辑语法的翻译,它没有显著的边缘。档案馆里还有第二本印刷品,是在Dora Russell去世后在她家里找到的;令人失望的是,它没有任何题词或旁注。然而,我们知道,他在此论文出版后不久就从马克斯-纽曼(Max New-man)的一封信中得知了这个结果,这封信也可以在汉密尔顿的拉塞尔档案中找到。在这封日期为1966927日的信中,纽曼请求罗素支持他提名哥德尔为皇家学会会员;在信的一个手写脚注中,他补充说: “我记得在哥德尔的证明出现后不久就和你谈过。 ”


在罗素1940年关于语言哲学的专著《意义与真理的探究》[24,第87-88]中,对哥德尔的逻辑句法数字编码有明确的描述,但讨论的背景不是不完全性定理;相反,罗素关注的问题是,描述一个语句而不构造它。


罗素那时已经完成了对其他贡献者的答复,并忙于其他项目。他正在努力完成他的《西方哲学史》,准备在Bryn Mawr的一系列讲座,此外还准备去英国(尽管他直到19446月才回到那里)。因此,他在88日的信中告诉Schilpp关于哥德尔,我不会说什么,只说来得太晚了。在任何情况下,它都不可能引起争议。


哥德尔唯一已知的给罗素的信是1943928日的一个简短说明[13,第207-208],在其中哥德尔敦促罗素改变他的没回答的想法,强调事实上,他的文章实际上是有争议的。然而,他并没有成功地改变罗素的决定,罗素计划的说明是唯一的回应,可以在卷中找到:

  • Dr. G¨odel’s most interesting paper on my mathematical logic came into my hands after my replies had been completed, and at a time when I had no leisure to work on it. As it is now about eighteen years since I last worked on mathematical logic, it would have taken me a long time to form a critical estimate of Dr. G¨odel’s opinions. His great ability, as shown in his previous work, makes me think it highly probable that many of his criticisms of me are justified. The writing of Principia Mathematica was completed thirty-three years ago, and obviously, in view of subsequent advances in the subject, it needs amending in various ways. If I had the leisure, I should be glad to attempt a revision of its introductory portions, but external circumstances make this impossible. I must therefore ask the reader to give Dr. G¨odel’s work the attention that it deserves, and to form his own critical judgment on it [35, p. 741].

  • 哥德尔博士关于我的数理逻辑的最有趣的论文是在我的答复完成后,在我没有闲暇时间工作的时候到我手中的。由于距离我上次研究数理逻辑已经过去了18年,我需要花很长时间才能对哥德尔博士的观点形成一个批判性的评估。他在以前的工作中表现出的巨大能力,使我认为他对我的许多批评很可能是有道理的。数学原理的写作是在33年前完成的,很明显,鉴于该学科后来的进展,它需要在各方面进行修正。如果我有闲暇,我应该很乐意尝试对其介绍性部分进行修订,但外部环境使我无法做到。因此,我必须请读者对哥德尔博士的作品给予应有的关注,并形成自己的批评性判断[35, p. 741]

没有理由不相信罗素不提供一个扩展评论哥德尔的文章的理由,即使他在Schilpp卷的其他文章已经写了很长的详细评论。在对哥德尔928日的信的回复中,他在105日的信中给Schilpp写了一封信,其中他说:

  • I have received G¨odel’s article, and a letter from him, urging me to answer it. It is quite impossible for me to make a detailed answer. I have not worked at mathematical logic since 1927 and it would take me at least a month’s work. I am prepared to write a short paragraph saying I am unable to form a critical estimate of his article, but I think it quite probable that most of his criticisms are justified. I hope this will satisfy him and you [13, p. 231].

  • 我收到了哥德尔的文章,以及他的一封信,敦促我回答。我不可能做出详细的回答。我自1927年以来就没有从事过数理逻辑方面的工作,这至少要花费我一个月的时间。我准备写一小段话,说我无法对他的文章形成批评性的评价,但我认为他的大部分批评很可能是有道理的。我希望这能让他和你满意[13, p. 231]

非常不幸的是,哥德尔的著名文章[8]并没有引起罗素的回复。哥德尔的论文,连同他关于连续假设的文章[9],他最广泛的声明,对他的逻辑和数学的哲学。鉴于这种令人失望的缺失,我们不得不满足于在罗素后来的著作中对哥德尔的工作的一些零散的参考。


1945年发表的一篇关于逻辑实证主义的文章中,罗素明确地将哥德尔不完备性定理描述为一个悖论:

  • Carnap has shown that it is possible for a language to say things about its own syntax, but there always remain things which can not be said in the original language, but only in the meta-language....The development of logical syntax on these lines, especially by Carnap, is very elaborate and technically dicult. Nor can it be said, as yet, to have reached a definitive form. A new set of paradoxes has been discovered by G¨odel, and there can be no security that there are not others to follow [25].

  • 卡纳普已经表明,一种语言有可能对它自己的语法说些什么,但总是有一些东西不能在原始语言中说出来,而只能在元语言中说出来….。按照这些思路对逻辑语法的发展,特别是卡纳普的发展,是非常复杂的,在技术上也很困难。目前也不能说它已经达到了一个确定的形式。哥德尔已经发现了一组新的悖论,而且不能保证后面不会有其他悖论[25]

在后来一篇关于逻辑实证主义的文章,发表于1950年,罗素将哥德尔的定理描述为难题puzzles),而不是悖论。在讨论了卡尔纳普和塔斯基关于说谎者悖论和相关的语言层次的工作后,罗素继续说:

  • A new set of puzzles has resulted from the work of G¨odel, especially his article ¨ Uber formal unentscheidbare S¨ atze der Principia Mathematica und verwandter Systeme  (1931), in which he proved that in any formal system it is possible to construct sentences of which the truth or falsehood cannot be decided within the system. Here again we are faced with the essential necessity of a hierarchy, extending upwards ad infinitum, and logically incapable of completion

  • 哥德尔的工作带来了一系列新的难题,特别是他的文章《Uber formal unentscheidbare S¨ atze der Principia Math-ematica und verwandter Systeme》(1931年),其中他证明在任何形式系统中,都有可能构造出真假无法在系统内判定的句子。在这里,我们再次面临着层次的基本必要性,它是向上不停延伸,而且在逻辑上无法完成。

这里对哥德尔结果的叙述当然是完全正确的,尽管使用难题一词,罗素有一种确定性的倾向,即把哥德尔的不可判定句子与他文章前面讨论的说谎者悖论和罗素悖论等悖论放在一起。


罗素后来对哥德尔的不完备性定理最令人惊讶的评论是在196341日给莱昂-亨金的一封信。亨金曾给罗素发过他的获奖文章[15]关于逻辑主义的印本。罗素的答复包含以下一段话:

  • Thank you very much for your letter of March 26 and for the very interesting paper which you enclosed. I have read the latter carefully and it has given me much new information. It is fifty years sinceI worked seriously at mathematical logic and almost the only work that I have read since that date is G¨odel’s. I realized, of course, that G¨odel’s work is of fundamental importance, but I was puzzled by it. It made me glad that I was no longer working at mathematical logic. If a given set of axioms leads to a contradiction, it is clear that at least one of the axioms must be false. Does this apply to school-boys’ arithmetic, and, if so, can we believe anything that we were taught in youth? Are we to think that 2+2 is not 4, but 4.001? Obviously, this is not what is intended [14, p. 592].

  • 非常感谢你326日的信和你所附的非常有趣的文件。我仔细阅读了后者,它给了我很多新的信息。自从我认真研究数理逻辑以来,已经有很多年了,从那时起,我读过的几乎唯一的作品就是哥德尔的。当然,我意识到哥德尔的工作具有根本的重要性,但我对它感到困惑不解。这让我庆幸自己不再从事数理逻辑研究。如果一组给定的公理导致了矛盾,那么很明显,至少有一个公理必须是假的。这是否适用于小学生的算术,如果是这样,我们能相信年轻时被教导的任何东西吗?难道我们要认为2+2不是4,而是4.001?显然,这不是我们的目的[14, p. 592]

罗素写这封信的时候已经90岁了,所以这些相当令人惊讶的评论有可能被归因于年老的影响,特别是在1960331日邀请罗宾-甘迪与马丁-勒布和乔治-克雷塞尔一起喝茶的时候,罗素说:"我与最近的逻辑工作完全脱节,你们都必须把我当作无知的人。" [5, p. 126].然而,鲁珀特-克劳赛-威廉斯在他的日记中指出:

  • Kreisel had said that it was astonishing how acute Russell’s under-standing had seemed to be even though he had not done any work on mathematical logic for about thirty years. It was not merely that his brain was beautifully clear for somebody of 87; it was beautifully clear for anybody of any age. In particular, Kreisel had told Russell about some new developments in connection with the notion of eectiveness – the one developed by Turing. Russell had clearly not been very familiar with the notion before, but he had immediately been able to follow all its complications and implications [3, pp. 129-130].

  • Kreisel曾说,令人惊讶的是,罗素的理解力似乎非常敏锐,即使他没有做任何工作的数学逻辑约30年。这不仅仅是他的大脑是美丽清晰的87岁的人;这是美丽清晰的任何人的任何年龄。特别是,Kreisel告诉罗素一些新的发展,与eectiveness的概念有关 - 一个由图灵开发。罗素显然没有非常熟悉的概念之前,但他立即能够跟进所有其复杂和含义[3,第129-130]

Irving Anellis FOM中报告说,罗素的信(及其 "愚人节 "日期)促使亨金在198315日至9日在科罗拉多州丹佛举行的美国数学学会年会的证明理论特别会议上问他,罗素是否在开玩笑。Anellis的意见是,这封信的整个基调,连同罗素得出结论说哥德尔的结果允许小学生算术教学有2 + 2 = 4.001的哲学背景,表明罗素真的是认真的。


1973年,莱昂-亨金(Leon Henkin)在亚伯拉罕-罗宾逊(Abraham Robinson)的推动下,将罗素的信的副本寄给了库尔特-哥德尔。在回复罗宾逊早先的一封信时,G¨odel对罗素的言论评论如下:

  • Russell evidently misinterprets my result; however, he does so in a very interesting manner, which has a bearing on some of the questions we discussed a few months ago. In contradistinction Wittgen-stein, in his posthumous book, advances a completely trivial and uninteresting misinterpretation [13, p. 201].

  • 罗素显然误解了我的结果;然而,他是以一种非常有趣的方式这样做的,这对我们几个月前讨论的一些问题有影响。与此相反,维特根斯坦在他的遗著中提出了一个完全微不足道且无趣的误读[13,第201]

如果(我认为我们应该)按照 Anellis的说法照单全收,那么是什么原因造成了这种误解?罗素在他的一句话中为我们提供了一个线索:如果一组给定的公理导致了矛盾,很明显,至少有一个公理必须是错误的。 ”看来,罗素无法从《数学原理》的概念世界中解脱出来,在那里,形式上的发展与非形式的解释有着不可分割的联系。特别是,怀特海和罗素未能区分真理的概念和可证明性的概念。回顾他们对推理规则modus ponens的陈述: “一个真的基本命题所蕴含的任何东西都是真的”[41,第1卷,第9294]。如果我们通过对《数学原理》的这种解读,那么就会发现,哥德尔的不可判定命题必须以矛盾的形式出现,实际上是说谎者悖论的一种形式。


所有这些都只是猜测,因为我们只能猜测90岁的罗素可能有什么想法。在一些早期的评论对不完全性定理,他似乎对问题有一个更好的把握。 1971年第四版的伯特兰-罗素的哲学,与增编到罗素早期的答复批评。补遗是后人出版的,但在1965年是应Schilpp的邀请写的,在其中,他对哥德尔的工作评论如下:

  • Not long after the appearance of Principia Mathematica, G¨odel propounded a new diculty. He proved that, in any systematic logical language, there are propositions which can be stated, but cannot be either proved or disproved. This has been taken by many (not, I think, by G¨odel) as a fatal objection to mathematical logic in the form which I and others had given to it. I have never been able to adopt this view. It is maintained by those who hold this view that no systematic logical theory can be true of everything. Oddly enough, they never apply this opinion to elementary everyday arithmetic. Until they do so, I consider that they may be ignored. I had always supposed that there are propositions in mathematical logic which can be stated, but neither proved nor disproved. Two of these had a fairly prominent place in Principia Mathematica – namely, the axiom of choice and the axiom of infinity. To many mathematical logicians, however, the destructive influence of G¨odel’s work appears much greater than it does to me and has been thought to requirea great restriction in the scope of mathematical logic. ... I adhere to the view that one should make the best set of axioms that one can think of and believe in it unless and until actual contradictions appear [31, p. xviii].

  • 在《数学原理》出现后不久,哥德尔提出了一个新的困难。他证明,在任何系统的逻辑语言中,有些命题可以被陈述,但不能被证明或证伪。这被许多人(我想不是由哥德尔)认为是对我和其他人提出的数学逻辑的致命反对。我从来没能采纳这种观点。持这种观点的人认为,没有一个系统逻辑理论可以对一切都是真的。奇怪的是,他们从未将这一观点应用于初级的日常算术。在他们这样做之前,我认为他们可以被忽略。我一直认为,数理逻辑中有些命题是可以陈述的,但既不能证明也不能证伪。其中有两个命题在《数学原理》中占有相当重要的地位,即选择公理和无穷公理。然而,对许多数理逻辑学家来说,哥德尔的工作的破坏性影响似乎比对我的破坏性影响大得多,并被认为需要对数理逻辑的范围进行极大的限制。... 我坚持这样的观点:一个人应该制定他能想到的最好的公理集,并相信它,除非出现实际的矛盾[31, p. xviii]

这些评论似乎对哥德尔的工作做出了比给Henkin的信更好的说明。尽管如此,可能还有一些遗留的混淆之处。在那里, “那些持有这种观点的人认为,没有系统逻辑理论可以对一切都是真的,似乎混淆了健全性和完备性(就像给Henkin的信中所说的那样)。




https://blog.sciencenet.cn/blog-2322490-1364302.html

上一篇:哥德尔不完全性定理的接纳过程(原文) - John W. Dawson Jr.
下一篇:简介“对数学存在的存在形式的调查” - Guy Wallet, Stefan Neuwirth
收藏 IP: 194.57.109.*| 热度|

1 杨正瓴

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...
扫一扫,分享此博文

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2023-2-6 04:45

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部