QC 壳层与两种团簇壳层——读《第一表》表 3.4.3

作者：小魔方

【博主序：我聘请一位准晶体助手，名曰小魔方，已经发表一篇文章：科学网—Al助手“小魔方”写的文献综述：二十面体（Ih 点群）团簇壳层模型与准晶研究 - 李世春的博文， 今天的是第二篇。】

"壳层"这个词，在准晶里有三个意思。读李世春《The First Table of Atomic Site Coordinates of the Ih Quasicrystal》的表 3.4.3，最容易混淆的就是这三个"壳层"。本文把三者分清，并说清它们的关系。

一、QC 壳层：按 u+v+w=n 分组

n-shell 模型里，第 n 个 QC 壳层是 QC Cell 中满足 u+v+w=n 的全部格点，经 Ih 点群操作生成的原子集合。QC 壳层是全局的、径向生长的：第 1 壳、第 2 壳……一直往外排，n 可以无限增大。

关键一点：QC 壳层不是等半径的薄壳——同一个 QC 壳层里的原子，半径 |P_uvw| 各不相同（表 3.4.3 的 |P_uvw| 列就是证明）。第 n 个 QC 壳层的原子数恰为 10n²+2（n=1 时 12，n=2 时 42，n=3 时 92……），与 Mackay 团簇壳层数 10k²+2 的形式一致。

二、第一种团簇壳层：表 3.4.3 的 Cluster-Shell——按半径分组

表 3.4.3 的 Cluster-Shell 列，是晶体学意义上的配位壳层：绕 QC 中心，按半径 |P_uvw| 排序，把同一半径上的原子归为一壳，编号 No.1、No.2、No.3……一直排下去，没有上限（n=6 时已排到 No.21）。

它与 QC 壳层的关系是包含关系：第 n 个 QC 壳层包含 n 个 Cluster-Shell，即第 n(n−1)/2+1 号至第 n(n+1)/2 号。例如第 6 个 QC 壳层包含 No.16 至 No.21 共 6 个 Cluster-Shell。

注意：Cluster-Shell 只按半径分组，一个半径上可以有多个 (u,v,w) 类型——如 No.18 同时包含 <4 1 1>⁺（60 个原子）与 <3 3 0>⁺（30 个原子），两者半径恰好相等。因而 Cluster-Shell 是半径分组，不是 Ih 轨道分组；单看 Cluster-Shell，看不到 (u,v,w) 的生成结构。

三、第二种团簇壳层：Tsai 团簇的 5 个壳层——一个团簇内部的同心壳层

Tsai 团簇是 Tsai 型准晶的局域结构单元，它内部有 5 个同心壳层：中心四面体（4 个 Cd）、十二面体（20 个 Cd）、二十面体（12 个 Yb）、截半二十面体（30 个 Cd）、菱形三十面体（92 个 Cd），共 158 个原子。

这 5 个壳层是以团簇中心为原点量的，是局域的；真实准晶由无数个这样的团簇准周期拼砌而成（间隙由双 Friauf 多面体填充，团簇间有 Yb 胶原子）。团簇中心的 Cd₄ 四面体破缺 Ih 对称，取向无序（占位概率 0.5），平均后才恢复 Ih 对称。

它与 QC 壳层的关系：Tsai 团簇的壳层半径是以团簇中心量的，QC 壳层是以 QC 中心量的。只有当一个 Tsai 团簇恰好位于 QC 中心时，两套壳层编号才直接对应；一般情况下，要通过平移参照中心来对接——把 Tsai 团簇的中心平移到 QC 中心，或把 QC 中心平移到 Tsai 团簇中心。

四、三者对接的办法

1. 笛卡尔坐标是绝对数据，(u,v,w) 只是生成用的标号。对接应在笛卡尔坐标层面（位置、距离、配位）做，不在标号层面做。

2. 对称性方位要保持一致：笛卡尔系由对称轴定义（Z 沿 C5、Y 沿 C2）。对接前，先把 Tsai 团簇的对称轴与 n-shell 的对称轴对齐（C5 对 C5、C3 对 C3、C2 对 C2），再平移、再比坐标。平移不管旋转，方位不对，平移也白搭。

3. 发表的数据是一个 QC Cell，即整个 QC 的二十分之一；其余十九分之二十由 Ih 操作生成。摆一个 QC Cell 即可。

4. 占位概率：理想表是 p=1 的极限；真实结构（包括 Tsai 团簇中心四面体的 0.5 占位）须由衍射精修确定，表给的是格点，不是化学。

结语

一句话：QC 壳层按 (u,v,w) 之和分组，是全局的生成单位；表 3.4.3 的 Cluster-Shell 按半径分组，是全局的配位单位；Tsai 团簇的 5 个壳层是局域结构单元内部的同心壳层。三套"壳层"量的是不同的东西，对接的办法是：同一笛卡尔系、同一对称性方位、平移参照中心。表 3.4.3 的价值，正在于把前两套壳层放在一张表里对照，让读者一眼看到"一个 QC 壳层包含 n 个 Cluster-Shell"。

文献出处：

[1] 李世春. The First Table of Atomic Site Coordinates of the Ih Quasicrystal. Zenodo, DOI: 10.5281/zenodo.23426598 (2026)，表 3.4.3。

[2] Tsai, A. P. 等. A stable binary quasicrystal. Nature 408, 537–538 (2000)。

[3] Takakura, H. 等. Atomic structure of the binary icosahedral Yb–Cd quasicrystal. Nature Materials 6, 58–63 (2007)。

——小魔方

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