群论玩五魔方(2)：Ih点群的C3元素

《五魔方和Ih点群》(2)：20个C3元素

科学网—群论玩五魔方(1)：Ih点群的C5元素 - 李世春的博文

  五魔方有20个角块(顶点)，这些顶点两两连线穿过12面体的中心，这就是Ih点群的三次轴(C3)，如图1所示。需要强调的是，对操作“置换三角形”来说，Ih点群是宏观操作，不涉及五魔方的层间转动。但是，当我用Ih点群操作五魔方的“操作序列”时，就必然要涉及到五魔方的层间转动。教科书里的点群只讲述了点群的宏观性操作，没有讲述点群的微观性奥妙(对操作序列的操作)。我这里以五魔方为例子来讲述Ih点群，不但能体会点群宏观性的奥妙，也能体会点群微观性的奥妙。                                              

如图1所示，图(a)是角块WAB的特写，这个角块的三色面交于一点，这点就是WAB，也是正12面体的顶点。因此，在我这里五魔方的角块和12面体的顶点是一回事。正12面体的20个顶点，两两相对，其连线就是Ih点群的三次轴。例如，顶点WAB和SMH相对，其连线过五魔方的中心，是一个三次轴，其方位关系如图(b)所示。由此可见，五魔方共有10个三次轴，每个三次轴对应C3和C3^2两个元素，因此，五魔方共有20个C3元素。对于五魔方的12个面：W和S平行，A和H平行，B和M平行，C和N平行，D和F平行，E和G平行。因为三个面的交点就是顶点，因此，在图1中，五魔方Ih点群的其中5个三次轴是：WAB-SHM，WBC-SMN，WCD-SNF，WDE-SFG，WEA-SGH，如图(c)所示。另外5个三次轴是：ABF-HMD，BCG-MNE，CDH-NFA，DEM-FGB，EAN-GHC。对于点群宏观操作来说，转轴没有方向性，因此10个三次轴可简单表示为o-WAB，o-WBC，o-WCD，o-WDE，o-WEA，o-ABF，o-BCG，o-CDH，o-DEM，o-EAN，它们都位于12面体的上半球。需要强调的是，o是12面体的中心，因此，o-WAB和WAB-SHM是完全重合的直线，其他以此类推。有时，我也会干脆把10个三次轴表示为WAB，WBC，WCD，WDE，WEA，ABF，BCG，CDH，DEM，EAN，它们都位于五魔方的上半球，如图2所示。

  我用Ih点群元素g操作T₀后，得到一个新的T(g)序列，你用这个新的T(g)序列来操作一个五魔方，可以产生一个置换三角形△g。用T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)，可以产生一个置换三角形△o。三角形△o和三角形△g的方位关系仍然可以用这个点群元素g来描述，如图3 所示。

  例如，点群元素g=C3(WAB)，是以角块WAB为转轴，逆时针方向转动120°的操作元素。以角块WAB为转轴，如图3(a)，把置换三角形逆时针转动120°，就得到图3(c)。Ih点群对操作序列的操作，是重点要叙述的，因为教科书里没有，但是计算过程繁杂，这里只讲结果，读者可以验证。对应图3(a)的操作序列是T₀，对应图3(c)的操作序列为T(g)，两者的代数关系如下：

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)产生△o,

T(g)=C3(WAB)T₀= (W1A3W1B1W4A4W4A1W1B4W4A4W1A3W4),

此时此刻，g=C3(WAB)，T(g)=T[C3(WAB)]=C3(WAB)T₀，T(g)产生△g，T₀产生△o， C3(WAB)△o=△g。

  图3(a)中的三角形△o，围绕WAB轴转动120°后，得到图3(c)的三角形△g。也就是说，用元素C3(WAB)操作三角形△o，得到三角形△g，如图3所示。需要强调的是，五魔方有12个面，如图3(b)所示，C3(WAB)把三角形△o围绕轴WAB转动120°，成为三角形△g，这个置换三角形涉及到上半球的角块，也涉及到下半球的角块，如图3(b)所示。

下面给出Ih点群的20个C3元素，如何操作五魔方的操作序列及其对置换三角形的操作。我给出的结果可以验证，验证的过程就是体会Ih点群和五魔方关系奥妙的最好的时刻。如果你有20个五魔方，同时对比这些五魔方的图案，更容易体会五魔方和Ih点群的奥妙。

五魔方有12个可转动的面(层)，每个面可转动的角度为72°，144°，216°，288°，我把它们分别表示为1，2，3，4。需要强调的是，我把五魔方固定在笛卡尔坐标系。因此，位于上半球的面是W,A,B,C,D,E，用右手操作，大拇指表示转轴方向，弯曲的四指表示转动方向；位于下半球的面是S,F,H,G,M,N，用左手操作，大拇指表示转轴方向，弯曲的四指表示转动方向。换句话说，对于W,A,B,C,D,E，用右手操作，转轴转向满足右手规则；对于S,F,H,G,M,N，用左手操作，转轴转向满足左手规则。再强调一次，下面各图中的操作序列，是在笛卡尔坐标系框架下给出的，就是把五魔方绑定在笛卡尔坐标系。如果习惯于用驴打滚方式摆弄五魔方，面对W,A,B,C,D,E时，就是逆时针转动；面对S,F,H,G,M,N时，就是顺时针转动。在操作序列里，字母表示要转动的面，字母后的数字表示转角。例如，对于操作序列W1S1A2F2B3H3C4G4，共有8次操作：(W1)表示面对W面，逆时针转动1(72°);(S1)表示面对S面，顺时针转动1(72°);(A2)表示面对A面，逆时针转动2(144°);(F2)表示面对F面，顺时针转动2(144°);(B3)表示面对B面，逆时针转动3(216°);(H3)表示面对H面，顺时针转动3(216°);(C4)表示面对C面，逆时针转动4(288°);(G4)表示面对G面，顺时针转动4(288°)。

因为我的魔方方程和点群操作都是建立在笛卡尔坐标系框架下，因此，对于W,A,B,C,D,E，用右手操作，转轴转向满足右手规则；对于S,F,H,G,M,N，用左手操作，转轴转向满足左手规则。

下面的各图中，划红线的是产生置换三角形的操作序列，每串操作序列包含15次操作，准备好20个五魔方，按照我给出的操作序列，体会五魔方和Ih点群的奥妙关系。只有亲自操作，才能有亲自的体会，才能产生自己的数学灵感。有了数学灵感，才能建立自己的数学模型。能讲述《五魔方和Ih点群》故事的，只此一家，别无分店。上次讲了24个C5元素，这次讲20个C3元素。Ih点群共有120个元素，听我按照类型慢慢讲来。

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1：C3(WAB)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3(WAB)T₀=(W1A3W1B1W4A4W4A1W1B4W4A4W1A3W4)

我用C3(WAB)操作T₀后，得到一个新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于A面。这个三角形也可以用C3(WAB)操作三角形△o得到，就是以角块WAB为转轴，逆时针120°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到A面，如图4所示。

2：C3^2(WAB)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3^2(WAB)T₀=(A1B3A1W1A4B4A4B1A1W4A4B4A1B3A4)

我用C3^2(WAB)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于B面。这个三角形也可以用C3^2(WAB)操作三角形△o得到，就是以角块WAB为转轴，逆时针240°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到B面，如图5所示。

3：C3(WBC)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3(WBC)T₀=(C1B3C1G4C4B4C4B1C1G1C4B4C1B3C4)

我用C3(WBC)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于B面。这个三角形也可以用C3(WBC)操作三角形△o得到，就是以角块WBC为转轴，逆时针120°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到B面，如图6所示。

4：C3^2(WBC)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3^2(WBC)T₀=(W1C3W1D1W4C4W4C1W1D4W4C4W1C3W4)

我用C3^2(WBC)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于C面。这个三角形也可以用C3^2(WBC)操作三角形△o得到，就是以角块WBC为转轴，逆时针240°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到C面，如图7所示。

5：C3(WCD)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3(WCD)T₀=(H4C3H4G4H1C4H1C1H4G1H1C4H4C3H1)

我用C3(WCD)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于C面。这个三角形也可以用C3(WCD)操作三角形△o得到，就是以角块WCD为转轴，逆时针120°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到C面，如图8所示。

6：C3^2(WCD)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3(WCD)T₀=(E1D3E1M4E4D4E4D1E1M1E4D4E1D3E4)

我用C3^2(WCD)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于D面。这个三角形也可以用C3^2(WCD)操作三角形△o得到，就是以角块WCD为转轴，逆时针240°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到D面，如图9所示。

7：C3(WDE)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3(WDE)T₀=(H4D3H4C1H1D4H1D1H4C4H1D4H4D3H1)

我用C3(WDE)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于D面。这个三角形也可以用C3(WDE)操作三角形△o得到，就是以角块WDE为转轴，逆时针120°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到D面，如图10所示。

8：C3^2(WDE)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3^2(WDE)T₀=(N4E3N4M4N1E4N1E1N4M1N1E4N4E3N1)

我用C3^2(WDE)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于E面。这个三角形也可以用C3^2(WDE)操作三角形△o得到，就是以角块WDE为转轴，逆时针240°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到E面，如图11所示。

9：C3(WEA)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3(WEA)T₀=(N4E3N4M4N1E4N1E1N4M1N1E4N4E3N1)

我用C3(WEA)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于E面。这个三角形也可以用C3(WEA)操作三角形△o得到，就是以角块WEA为转轴，逆时针120°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到E面，如图12所示。

10：C3^2(WEA)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3^2(WEA)T₀=(N4A3N4E1N1A4N1A1N4E4N1A4N4A3N1)

我用C3^2(WEA)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于A面。这个三角形也可以用C3^2(WEA)操作三角形△o得到，就是以角块WEA为转轴，逆时针240°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到A面，如图13所示。

11：C3(ABF)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3(ABF)T₀=(A1N2A1F4A4N1A4N4A1F1A4N1A1N2A4)

我用C3(ABF)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于N面。这个三角形也可以用C3(ABF)操作三角形△o得到，就是以角块ABF为转轴，逆时针120°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到N面，如图14所示。

12：C3^2(ABF)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3^2(ABF)T₀=(F4G2F4B1F1G1F1G4F4B4F1G1F4G2F1)

我用C3^2(ABF)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于G面。这个三角形也可以用C3^2(ABF)操作三角形△o得到，就是以角块ABF为转轴，逆时针240°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到G面，如图15所示。

13：C3(BCG)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3(BCG)T₀=(G4F2G4S4G1F1G1F4G4S1G1F1G4F2G1)

我用C3(BCG)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于F面。这个三角形也可以用C3(BCG)操作三角形△o得到，就是以角块BCG为转轴，逆时针120°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到F面，如图16所示。

14：C3^2(BCG)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3^2(BCG)T₀=(C1H2C1D1C4H1C4H4C1D4C4H1C1H2C4)

我用C3^2(BCG)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于H面。这个三角形也可以用C3^2(BCG)操作三角形△o得到，就是以角块BCG为转轴，逆时针240°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到H面，如图17所示。

15：C3(CDH)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3(CDH)T₀=(S4G2S4F4S1G1S1G4S4F1S1G1S4G2S1)

我用C3(CDH)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于G面。这个三角形也可以用C3(CDH)操作三角形△o得到，就是以角块CDH为转轴，逆时针120°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到G面，如图18所示。

16：C3^2(CDH)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3^2(CDH)T₀=(E1M2E1N4E4M1E4M4E1N1E4M1E1M2E4)

我用C3^2(CDH)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于M面。这个三角形也可以用C3^2(CDH)操作三角形△o得到，就是以角块CDH为转轴，逆时针240°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到M面，如图19所示。

17：C3(DEM)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3(DEM)T₀=(G4H2G4C1G1H1G1H4G4C4G1H1G4H2G1)

我用C3(DEM)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于H面。这个三角形也可以用C3(DEM)操作三角形△o得到，就是以角块DEM为转轴，逆时针120°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到H面，如图20所示。

18：C3^2(DEM)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3^2(DEM)T₀=(F4N2F4S4F1N1F1N4F4S1F1N1F4N2F1)

我用C3^2(DEM)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于N面。这个三角形也可以用C3^2(DEM)操作三角形△o得到，就是以角块DEM为转轴，逆时针240°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到N面，如图21所示。

19：C3(EAN)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3(EAN)T₀=(D1M2D1E1D4M1D4M4D1E4D4M1D1M2D4)

我用C3(EAN)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于M面。这个三角形也可以用C3(EAN)操作三角形△o得到，就是以角块EAN为转轴，逆时针120°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到M面，如图22所示。

20：C3^2(EAN)

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C3^2(EAN)T₀=(S4F2S4N4S1F1S1F4S4N1S1F1S4F2S1)

我用C3^2(EAN)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，位于F面。这个三角形也可以用C3^2(EAN)操作三角形△o得到，就是以角块EAN为转轴，逆时针240°转动三角形△o，就得到三角形△g，置换三角形从W面转到F面，如图23所示。