素数

      中国科学院力学研究所吴中祥

提要

素数不能简单地顺序表达并确定各数值，而出现一些有关的难题。

创建一个“顺序表达确定各素数的数值”，和一个“具体判断各整数是否素数”的简单方法，简单证明素数的一些重要特性的难题：完善证明“歌德巴赫猜想”(A和B)、孪生素数的特性和存在无数多种素数等差数列。

关键词：素数，歌德巴赫猜想，孪生素数，素数等差数列，

1．顺序表达并确定各素数数值的简单方法

素数是：除“1”和其自身外，不可被整除的整数。

本文利用“小于某素数的所有素数都不能整除它”，的特性，创建采用整数m，以顺序表达各素数 j(m) ，即：

j(m)/j(m-k); k=1,2,…,m-1,都不是整数，就可以表达并依顺序，m，确定各素数的数值，j(m)。

这样，我们就知道：m=1，j(1)=2, 而m=2，j(2)=3, m=和>2时，j(m)就都是奇数，若取j(m)+1，就都能被2整除，而必然不是素数。因而，完全可以：从m=2开始对j(m)逐次+2，直到j(m)+2s时，(j(m)+2s)/j(m-k); k=0，1,2,…,m-1,都不是整数，而判定j(m)+2s是j(m+1)。

   如此，就完全可以按序数，m，列表，具体确定各个素数，j(m)，的数值，例如：

m    1  2  3 4  5  6 7  8  9  1011 12 13 14 15，…，无穷大

j(m)  2  3  5 7  11 13 17  19 23 29 31 37 41 43 47，…，j(无穷大)

直到m=无穷大，j(m)=j(无穷大)，即：无穷大素数。

2．创建具体判断10进制中，哪些整数是素数的简单方法

为能简便判断，在整数中，素数如何分布？是否存在无穷大的素数？等问题，以及各种连续多个素数的一些基本特性，创建具体判断10进制中，哪些整数是素数的简单方法。即：

偶数都能被2整除，因而，大于2的，各个位数 =2，4，6，8的任何整数，就都不是素数；

3的倍数都能被3整除，因而，大于3的，各个位数=3，6，9的任何整数，也都不是素数；而且，3的所有倍数的各位数之和都能被3整除，因而，大于3，而各位数之和能被3整除的任何整数，也都不是素数；

5的倍数都能被5整除，因而，大于5的，各个位数=5，0的任何整数，也都不是素数；

所有各整数中，除2，5，两数而外，其个位数，就都仅是：1，3，7，9的，才可能是素数。

而且，所有各整数中个位数即使是：1，3，7，9，但若能被比它小的任何素数，整除的，也不是素数。

因而，有：

小于10的所有各整数中，就只有2，3，5，7，才是，也必是，素数。

大于10的所有各整数，就仅有个位数是：1，3，7，9，而且，不能被比它小的素数，整除的，（个位数是3的，还需各位数之和都不能被3整除），才是，也必是，素数。

直到，不断增大，而仍是素数，就，也才，是无穷大素数。

这就是具体判断，无论多大的各整数是否素数，的简单方法。

3．完善证明“歌德巴赫猜想”(A和B)，因而，成为整数与素数相互关系的一条定律

   哥德巴赫(Goldbach)猜想(A)就是：“每个等于或大于6的偶数都是2个素数之和”；(B)就是：“每个等于或大于7的奇数都是3个素数之和”。

素数被定义为：除“1”和其自身外，不可被整除的整数。因而，不能简单地顺序确定各素数的数值。

1918年G. H. Hardy, 和 s. Ramanujan, 采用一个由序数m从2到n求和2iknm的指数函数（复数的指数表达）S(k,n)，其中k是0到1的变量，而在自然数, n, 和素数, p, 间建立起联系。

2iknm的指数由k从0到1的积分=1(m=0);  0(m不=0), 其中m为任意整数，因而，

方程n=p(1)+p(2)中, p(1), p(2)大于或等3的解数为： D(n)=在上述积分的核乘以S (k,n) 的平方；

方程n=p(1)+p(2)+p(3)中, p(1), p(2) , p (3)大于或等3的解数为：T(n)=在上述积分的核乘以S (k,n) 的立方。这样：

证明Goldbach猜想,就只须计算积分D(n)，T(n)：

对于猜想(A)，就只要证明：对于偶数的n大于或等于6；D(n)大于0。

对于猜想(B)，就只要证明：对于奇数的n大于或等于7；T(n) 大于0。

这就是Hardy - Littlewood - Ramanujan圆法的基本思想，它确定了证明“歌德巴赫猜想”的重要研究方向。

但是，这种复杂的复函数积分，也非易事。

而猜想 (A)：却可采用先证明，“每个充分大的偶数是不超过a个素数的乘积和不超过b个素数的乘积之和” (即所谓：命题{a, b}或“a + b” ), 其中a, b, 是正整数，使a, b,逐步递减为1，达到命题{1,1}，即所谓：“1+1”，的方法，而得到证明。

我国数学家陈景润1966年宣布证明了命题{1,2}(即所谓：“1+2” )，1973年发表了命题{1,2}的全部证明，这就距歌德巴赫猜想(A)的最终解决，仅“1”之差，但仍未全面完成，

人们甚至尚不能肯定沿用现有的方法是否确能最终解决。

实际上，这是把简单的问题弄得复杂化了以致这个猜想(A和B)长期不能完善证明。

然而，采用节1．创建的“顺序表达并确定各素数数值”的简单方法，就有：

偶数6=j(2)+j(2)，而对于大于6的所有偶数：

当偶数2m=j(m-s)+j(m-s‘)；s，s’=0,1,2,…,或m-1, 则按素数的基本特性，j(m)/j(m-k)；k=1,2,…,m-1,都不是整数，就可以判定，比素数，j(m+1)，小的全部素数，j(m+1-k’)；k’=0，1,2,…,或m-1，中至少必有1个素数，能使2(m+1)-j(m-k)=j(m+1-k’)；k,k’=0，1,2,…,或m-1，成立。

当m=3，已知有j(2)+j(2)=6，2个素数之和是偶数，比这2个素数小的素数只各有1个。

当m每+1，则比这2个素数小的素数都各增加1个，而必至少能有2个素数之和是偶数。

如此逐次，增大 m，就证明了，大于6的所有偶数都至少有2个素数相加，等于它们。

奇数7=j(1)+j(1)+j(2)，而对于大于7的所有奇数：

当奇数2m+1=j(m-s)+j(m-s’)+j(m-s”)；s,s’,s”=0,1,2,…,或m-1, 则按素数的基本特性，j(m)/j(m-k)；k=0，1,2,…,m-1,都不是整数，就可以判定，比素数，j(m+1)，小的全部素数，j(m+1-k”)；k”=0，1,2,…,或m-1，中至少必有1个素数，能使2(m+1)+1-j(m-k)-j(m-k’)=j(m+1-k”)；k,k’,k”=0，1,2,…,或m-1，成立。

当m=3，已知有j(1)+ j(1)+ j(2)=7，3个素数之和是奇数，比这3个素数小的素数只有0个和1个。

当m每+1，则比这3个素数小的素数都各增加1个，而必至少能有3个素数之和是奇数。

如此逐次，增大m，就证明了大于7的所有奇数都至少有3个素数相加，等于它们。

对于m>3 的任意偶数，2m，和任意奇数，2m+1，都具体验证了上述结论。

因而，对于，正实整数(也适用于负实整数或正负虚整数)，就已简单、完善地证明了：

大于6的所有偶数都至少有2个素数相加，等于它们，或大于7的所有奇数都至少有3个素数相加，等于它们，的“歌德巴赫猜想”(A和B)。

对于复数素数的证明就必须相应各式的实部与虚部，都符合以上条件，就能，也才能，证明。

   这正是采用复数表达的“圆法”和相应的“筛法”的现有证法，不能最终证明，命题{1,1}，即所谓：“1+1”，的实质原因。

由于歌德巴赫猜想(A和B)的完善证明，因而，得到整数与素数的如下定律：

对于正负实整数或正负虚整数、复数整数相关各式的实部与虚部：m，大于3的，所有偶数，2m，都至少有2个素数相加，等于它们；所有奇数，2m+1，都至少有3个素数相加，等于它们。

并且扩展到：

对于足够大的正负实整数或正负虚整数、复整数相关各式： m，大于3的，所有偶数，2m，都至少有相应的偶数个素数相加，等于它们；所有奇数，2m+1，都至少有相应的奇数个素数相加，等于它们。

对研究素数特性，乃至发展数论、解析数论，都有重要作用。

4．素数等差数列的一些特征

u+1素数等差数列是：等差步长为s的连续u+1个素数，即pt=p0+st; t=0,1,2,…,u，同为素数，的系列。

各系列：P0是首项，u+1是项数，pu=p0+su是末项。

若该素数等差数列，可相继连续出现，其相邻系列的距离，标为：r(p0(a+1)-p0a)=r(pu(a+1)-pua)。

当给定：等差步长，s后，可从m1=2开始逐个增大地，按具体判断各整数是否素数的简单方法，选定适当的m1能开始使j(m1)成为素数的，作为第1个素数等差数列的首项，p01=j(m1)。

再由：j(m1,t)=j(m1)+st; t=0,1,2,…,u，都是素数，而j(m1,u+1)=j(m1)+s(u+1)不是素数的条件，确定为：j(m1,u)=j(m1)+su，第1个连续u个素数的等差数列的末项。

并从m2=m1+1开始逐个增大地，按具体判断各整数是否素数的简单方法选定适当的m2=m1+a1，能再开始使j(m2)成为素数，并且连续的u个pt=j(m2)+st; t=1,2,…,u，都是素数的，作为下一个u+1素数等差数列的首项，p02=j(m2) = j(m1+a1)= j(m1)+sa1,和末项，pu2= j(m2+u) = j(m1+u+a1)= j(m1)+s(u+a1)。

如此重复，逐次确定，各k次u+1素数等差数列的首项，p0k= j(mk) = j(mk+ak)= j(mk)+sak,和末项，puk= j(mk+u) = j(mk+u+ak)= j(mk)+s(u+ak)。

5．孪生素数

s=2，u=1就是通常的u+1=2，个连续素数的孪生素数：

2013年5月《自然》在“突破性新闻”栏目里，宣布，《数学年刊》接受华人学者张益唐发表的题为《素数间的有界距离》的文章，证明了存在无数多个孪生素数对（p,q），其中每一对素数之距离，不超过七千万。

后来，进一步得出，其中每一对素数之距离，不超过六万。

   按本文方法，就具体得到：

实际上，大于10的各对素数的个位数都是：1 3，7 9，9 1。

可见，随着素数的加大，孪生素数可以无穷多，数值可到无穷大，r有多个峰值的波动变化。但其峰值，随着孪生素数的增大，始终是有限的数值，而且，与该处素数之比，始终是愈来愈小。

对于大于10的，s=2，u=1的第b个孪生素数，其末项m[b+1]=m[b]+1素数j(m[b]+1)，其末位数必为：1、3、7、9，且不能被3、7，整除。当逐个增大至j(m[b+c])=j(m[b])+sc和j(m[b+c] +1)=j(m[b])+s(c+1)都是素数，则它们的末位数必都为：1、3、7、9，且除1外，都不能被j(m[b])的末位数整除。也就是，c和c+1，除1外，都不能被j(m[b])的末位数整除。因而，对于，任意大的b，而能产生下一组u=1的孪生素数。而且，即使趋于无穷大，c都是有限值。

   从在90-100万间，s=2，u=1的孪生素数的数据，看来，在素数994249处，r=426；在素数999961处，r=348。

因而，随着素数的加大，其中每一对素数之距离，有极限值。而且，这个极限值与该处素数之比愈来愈小。

2006年1月4日，美国宣布：2005年12月中旬，花了多年时间给700部电脑编程，得出迄今最大素数：它有910万位，被称为梅森数M30402457，即：2^(30402457)-1。

2008年8月23日，发现的梅森数M43112609，即：2^(43112609)-1。超过了1200万位。

当年，张益唐已算得此极限值，为：七千万，进而，缩减为：六万。不知是否已经用到当年最大素数数据。

也不知现在，已知最大素数又增大到了多少？此极限值又缩减到了多少？

利用本文，创建的：表达并确定各素数的序数、数值，和具体判断各整数是否素数的简单方法，就应容易得到：更大的素数，和进一步缩减每对素数距离的极限值。

s=4，u=1就是s=4，的孪生素数：

实际上，大于10的，各对素数的个位数都是：7 1，3 7，9 3。

3 7，7 11，13 17，19 23，37 41，43 47，67 71，71 73，…，

s=6，u=1就是s=6，的孪生素数：

实际上，大于10的，各数的个位数都是： 7 3，3 9，1 7。

5 11，7 13， 11 17，13 19，17 23，23 29，…，

s=8，u=1就是s=8，的孪生素数：

实际上，大于10的，各数的个位数都是：3 1， 1 9，9 7。

3 11，5 13，11 19，23 31，29 37，…，

s=10，u=1就是s=1，的孪生素数：

实际上，大于10的，各数的个位数都是：3 3， 1 1，9 9，7 7。

3 13，7 17，13 23，19 29，31 41，…，

6．s=s，u 〉1的多个素数的素数等差数列

(1)   3个素数的素数等差数列

对于u=2的3个素数的素数等差数列，有：

  s=2， u=2的3个素数的素数等差数列

3 5 7，

  s=4， u=2的3个素数的素数等差数列

3 7 11，

s=8， u=2的3个素数的素数等差数列

3 11 19，

  s=10， u=2的3个素数的素数等差数列

3 13 23，

除了s=n！；n=3,4,…, ，s=2！乘n；n=1,2,…,，从m2=m1+su开始逐个增大地，按具体判断各整数是否素数的简单方法选定所有的m2即使能开始使j(m2)成为素数，而连续的2个pt=j(m2)+st; t=1,2，就必然不都是素数，都不可能作为下一个连续u+1个素数系列的首项，p02= j(m2) 和末项，j(m2+2)，就再也不会有更大数值的，s=2！乘n；n=1,2,…,，u=2的3个素数的素数等差数列。

s=6， u=2的3个素数的素数等差数列

实际上，大于10的，各组素数的个位数都是： 1 7 3，7 3 9。

5 11 17，11 17 23，17 23 29，31 37 43，47 53 59，61 67 73，67 73 79，…，

s=12， u =2的3个素数的素数等差数列

实际上，大于10的，各组素数的个位数都是：7 9 1，9 1 3。

5 17 29，17 29 41，29 41 53，59 71 83，89 101 113，127 139 151，139 151 163，

167 179 191，199 211 223，227 239 251，239 251 263，269 281 293，…，

对于大于10的，除了s=n！；n=4,5,…, ，s=3！乘n；n=1,2,…,， u=2的第b个3个素数的素数等差数列，其末项m[b+1]=m[b]+2素数j(m[b]+2)，其末位数必为：1、3、7、9，且不能被3、7，整除。当逐个增大至j(m[b+c])=j(m[b])+sc、j(m[b+c]+1)=j(m[b])+s(c+1)和j(m[b+c]+2)=j(m[b])+s(c+2)都是素数，则它们的末位数必都为：1、3、7、9，且除1外，都不能被j(m[b])的末位数整除。也就是，c 、c+1和c+2，除1外，都不能被j(m[b])的末位数整除。因而，对于，任意大的b，而能产生下一组u=2的3个素数的素数等差数列。而且，即使趋于无穷大，c都是有限值。

(2) e+1个素数的素数等差数列

按u=1,2，的如上规律，类推，对于u= e的 (e+1)个素数的素数等差数列，即有：

除了s=n！；n=e+1,e+2,…, ，s=e！乘n；n=1,2,…,，从m2=m1+su开始逐个增大地，按具体判断各整数是否素数的简单方法选定所有的m2即使能开始使j(m2)成为素数，而连续的2个pt=j(m2)+st; t=1,2，就必然不都是素数，都不可能作为下一个连续u+1=e+1个素数系列的首项，p02= j(m2) 和末项，j(m2+2)，就再也不会有更大数值的，s=e！乘n；n=1,2,…,，u=e+1个素数的素数等差数列。

对于大于10的，除了s=n！；n=e+2,e+3,…, ，s=(e+1)！乘n；n=1,2,…,， u=2的第b个3个素数的素数等差数列，其末项m[b+1]=m[b]+2素数j(m[b]+2)，其末位数必为：1、3、7、9，且不能被3、7，整除。当逐个增大至j(m[b+c])=j(m[b])+sc、j(m[b+c]+1)=j(m[b])+s(c+1)和j(m[b+c]+2)=j(m[b])+s(c+2)都是素数，则它们的末位数必都为：1、3、7、9，且除1外，都不能被j(m[b])的末位数整除。也就是，c 、c+1和c+2，且除1外，都不能被j(m[b])的末位数整除。因而，对于，任意大的b，而能产生下一组u= e的e+1个素数的素数等差数列。而且，即使趋于无穷大，c都是有限值。

7．存在任意多的多个素数的素数等差数列

2004年4月18日，陶哲轩和格林两人宣布：他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”，也就是：存在任意多的多个素数的素数等差数列。

但是，不知他们是怎么证明的，且证明太繁复，长达50页。

而由本文节6．(2) ，u=e，所给出的e+1个素数的素数等差数列的规律性，就可见，确实存在任意多的多个素数的素数等差数列。并具体给出了它们的一些具体特征。