简单证明各多胞胎素数的一些特性

                                    中国科学院力学研究所吴中祥

提           要

利用一个表达并确定各素数的序数、数值，和一个具体判断各整数是否素数的简单方法，简单证明各多胞胎素数的一些特性。

关键词：多胞胎素数，首项，步长，末项，邻距，

1．表达并确定各素数的序数的简单方法

素数是：除“1”和其自身外，不可被整除的整数。

因而，可利用小于它的所有素数都不能整除它，的特性，而可以采用整数m，以顺序表达各素数j(m) ，即：

j(m)/j(m-k); k=1,2,…,m-1,都不是整数，就可以确定j(m)是素数。

而j(m)/j(m-k); k=1,2,…,m-1,是否都不是整数也就是判定j(m)是否素数的基本条件。

这样，我们就知道：m=1，j(1)=2, 而m=2，j(2)=3, 就是奇数， m=和>2时，若取j(m)+1，就都能被2整除，而必然不是素数。因而，完全可以：对j(m)逐次+2，直到j(m)+2s时，(j(m)+2s)/j(m-k); k=0，1,2,…,m-1,都不是整数，而判定j(m)+2s是j(m+1)。

   如此，就完全可以按序数，m，列表，具体确定各个素数，j(m)，的数值，例如：

m     1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15，…，无穷大

j(m)   2  3  5  7  11 13 17  19 23  29 31 37 41 43 47，…，j(无穷大)

直到m=无穷大，j(m)= j(无穷大)，即：无穷大素数。

2．具体判断各整数是否素数的简单方法

10进制中，哪些整数是素数？以及在整数中，素数如何分布？是否存在无穷大的素数？等问题，都可由此解决。

偶数都能被2整除，因而，大于2的，各个位数 =2，4，6，8的，就都不是素数；

3的倍数都能被3整除，因而，大于3的，各个位数=3，6，9的也都不是素数；而且，3的所有倍数的各位数之和都能被3整除，因而，大于3，而各位数之和能被3整除的任何整数，也都不是素数；

5的倍数都能被5整除，因而，大于5的，各个位数=5，0的，也都不是素数；

各整数中，除2，5，两数而外，其个位数的10个数中，就都仅有是：1，3，7，9的，才可能是素数。

各整数中能被比它小的素数，整除的，（2和5，因个位数不可能是：1，3，7，9，而不必；3，可由各位数之和都能被3整除），也不是素数。

因而，有：

小于10的各整数中，就只有2，3，5，7，才是，也必是，素数。

大于10的各整数，就仅有个位数是：1，3，7，9，而且，不能被比它小的素数，整除的，（2和5，因个位数不可能是：1，3，7，9，而不必；3，可由各位数之和都能被3整除），才是，也必是，素数。

直到，不断增大，而仍是素数，就是无穷大素数。

这就是具体判断，无论多大的各整数是否素数，的简单方法。

3．多胞胎素数的一些特征

u+1胞胎素数是：步长为s的连续u+1个素数，即pt=p0+st; t=0,1,2,…,u，同为素数，的系列。

各系列：P0是首项，u+1是项数，pu=p0+su是末项。

若该多胞胎素数，可相继连续出现，其相邻系列的距离，标为：r(p0(a+1)-p0a)

= r(pu(a+1)-pua)。

当给定：步长，s后，可从m1=2开始逐个增大地，按具体判断各整数是否素数的简单方法，选定适当的m1能开始使j(m1)成为素数的，作为第1个多胞胎素数的首项，p01=j(m1)。

再由：j(m1,t)=j(m1)+st; t=0,1,2,…,u，都是素数，而j(m1,u+1)=j(m1)+s(u+1)不是素数的条件，确定为：j(m1,u)=j(m1)+su，第1个多胞胎素数的末项。

并从m2=m1+1开始逐个增大地，按具体判断各整数是否素数的简单方法选定适当的m2= m1+a1，能再开始使j(m2)成为素数，并且连续的u个pt=j(m2)+st; t=1,2,…,u，都是素数的，作为下一个u+1胞胎素数系列的首项，p02= j(m2) = j(m1+a1)= j(m1)+sa1,和末项，pu2= j(m2+u) = j(m1+u+a1)= j(m1)+s(u+a1)。

如此重复，逐次确定，各k次u+1胞胎素数系列的首项，p0k= j(mk) = j(mk+ak)= j(mk)+sak,和末项，puk= j(mk+u) = j(mk+u+ak)= j(mk)+s(u+ak)。

4．孪生素数

s=2，u=1就是通常的s=2，的孪生素数：

2013年5月《自然》在“突破性新闻”栏目里，宣布，《数学年刊》接受华人学者张益唐发表的题为《素数间的有界距离》的文章，证明了存在无数多个孪生素数对（p,q），其中每一对素数之距离，不超过七千万。

后来，进一步得出，其中每一对素数之距离，不超过六万。

   按本文方法，就具体得到：

实际上，大于10的各对素数的个位数都是：1 3，7 9，9 1。

3 5，5 7， 11 13，17 19，29 31，59 61，71 73，101 103，107 109，137 139，

r： 2    6      6     12    30     12     30       6       30    

                          30/61         30/103            30/139

149 151，179 181，191 193，197 199，227 229，269 271，281 283，

r：12     30      12        6       30      42       12    

         30/181                            42/271

311 313，347 349，419 421，431 433，461 463，521 523，569 571，599 601，

r：30      36      72      12       30      60      48      30

                  72/421                   60/523

993779 993781，993821 993823，994247 994249，994307 994309，

r：           42            426            60

                          426/994249

 994319 994321，994337 994339，994559 994561，994709 994711

r：12           18            122           150

                                          150/994711

 994811 994813，995051 995053，995117 995119，995327 995329，

r：102          240            66            210

              240/995053                    210/995329

999329 999331，999431 999433，999611 999613，999959 999961

r：          102            180            348

                                         348/999961

可见，随着素数的加大，孪生素数可以无穷多，数值可到无穷大，r有多个峰值的波动变化。但其峰值，随着孪生素数的增大，始终是有限的数值，而且，与该处素数之比，始终是愈来愈小。

对于大于10的，s=2，u=1的第b个孪生素数，其末项m[b+1]=m[b]+1素数j(m[b]+1)，其末位数必为：1、3、7、9，且不能被3、7，整除。当逐个增大至j(m[b+c])=j(m[b])+sc和j(m[b+c] +1)=j(m[b])+s(c+1)都是素数，则它们的末位数必都为：1、3、7、9，且除1外，都不能被j(m[b])的末位数整除。也就是，c和c+1，且除1外，都不能被j(m[b])的末位数整除。因而，对于，任意大的b，即使趋于无穷大，c都是有限值。

而都能得出相应的u=1的孪生素数。

   从s=2，u=1的孪生素数90-100万的数据看来，在素数994249处，r=426；

在素数999961处，r=348。

因而，随着素数的加大，其中每一对素数之距离，有极限值。而且，这个极限值愈来愈小。

2006年1月4日，美国宣布：2005年12月中旬，花了多年时间给700部电脑编程，得出迄今最大素数：它有910万位，被称为梅森数M30402457，即：2^(30402457)-1。

2008年8月23日，发现的梅森数M43112609，即：2^(43112609)-1。超过了1200万位。

当年，张益唐已算得此极限值，为：七千万，进而，缩减为：六万。不知是否已经用到当年最大素数数据。

也不知现在，已知最大素数又增大到了多少？此极限值又缩减到了多少？

利用本文，创建的：表达并确定各素数的序数、数值，和具体判断各整数是否素数的简单方法，就应容易得到：更大的素数，和进一步缩减每对素数距离的极限值。

s=4，u=1就是s=4，的孪生素数：

实际上，大于10的，各对素数的个位数都是：7 1，3 7，9 3。

3 7，7 11，13 17，19 23，37 41，43 47，67 71，79 83，97 101，103 107，

r： 4    6     6      18     6     24     12    18      6

                    18/41         24/71        18/101

s=6，u=1就是s=6，的孪生素数：

实际上，各数的个位数都是：7 3，3 9，1 7。

5 11，7 13，17 23，23 29，31 37，41 47，53 59，61 67，67 73，73 79，83 89，

r：  2    10     6     8      10    12     8     6      6     10

        10/23                      12/59                     10/89

s=8，u=1就是s=8，的孪生素数：

实际上，各数的个位数都是：3 1，1 9，9 7。

3 11，5 13，11 19，23 31，29 37，53 61，59 67，71 79，131 139，149 157，

r：  2    6      12    6      24    6      12    60       18

               12/31         24/61              60/139

s=10，u=1就是s=1，的孪生素数：

实际上，各数的个位数都是：3 1，5 3，1 9，9 7。

3 13，7 17，13 23，19 29，31 41，37 47，43 53，61 71，73 83，79 89，

r：  4    6      6     12     6     6      18     12    6

                      12/41               18/71

5．s=s，u 〉1的多胞胎素数

(1)   3胞胎素数

对于u=2的3胞胎素数，有：

   s=2，u=2的3胞胎素数

3 5 7，

   s=4， u=2的3胞胎素数

3 7 11，

s=8， u=2的3胞胎素数

3 11 19，

   s=10， u=2的3胞胎素数

3 13 23，

除了s=n！；n=3,4,…, ，s=2！乘n；n=1,2,…,，从m2=m1+su开始逐个增大地，按具体判断各整数是否素数的简单方法选定所有的m2即使能开始使j(m2)成为素数，而连续的2个pt=j(m2)+st; t=1,2，就必然不都是素数，都不可能作为下一个胞胎素数系列的首项，p02= j(m2) 和末项，j(m2+2)，就再也不会有更大数值的，s=2！乘n；n=1,2,…,，u=2的3胞胎素数。

s=6， u=2的3胞胎素数

实际上，大于10的，各组素数的个位数都是：1 7 3，7 3 9。

5 11 17，11 17 23，17 23 29，31 37 43，41 47 53，47 53 59，61 67 73，67 73 79，

r：    6        6        14       10       6       14       6

                       14/37                      14/67

101 107 113，151 157 163，167 173 179，227 233 239，251 257 263，257 263 269，

r：34        50         16         60        24           6

           50/157                 60/233

s=12， u =2的3胞胎素数

实际上，大于10的，各组素数的个位数都是：7 91，9 1 3，7 3 9。

7 19 31，17 29 41，19 31 43，29 41 53，47 59 71，59 71 83，89 101 113，

r：     10      2        10       18       12       30

       10/41   2/43              18/71

127 139 151，139 151 163，167 179 191，199 211 223，227 239 251，

r： 38          12          28          32         28

  38/151                               32/223

对于大于10的，除了s=n！；n=4,5,…, ，s=3！乘n；n=1,2,…,，u=2的第b个3胞胎素数，其末项m[b+1]=m[b]+2素数j(m[b]+2)，其末位数必为：1、3、7、9，且不能被3、7，整除。当逐个增大至j(m[b+c])=j(m[b])+sc、j(m[b+c]+1)=j(m[b])+s(c+1)和j(m[b+c]+2)=j(m[b])+s(c+2)都是素数，则它们的末位数必都为：1、3、7、9，且除1外，都不能被j(m[b])的末位数整除。也就是，c 、c+1和c+2，且除1外，都不能被j(m[b])的末位数整除。因而，对于，任意大的b，即使趋于无穷大，c都是有限值。

而都能得出相应的u=2的3胞胎素数。

(2) e+1胞胎素数

按u=1,2，的如上规律，类推，对于u= e的 (e+1)胞胎素数，即有：

除了s=n！；n=e+1,e+2,…, ，s=e！乘n；n=1,2,…,，从m2=m1+su开始逐个增大地，按具体判断各整数是否素数的简单方法选定所有的m2即使能开始使j(m2)成为素数，而连续的2个pt=j(m2)+st; t=1,2，就必然不都是素数，都不可能作为下一个胞胎素数系列的首项，p02= j(m2) 和末项，j(m2+2)，就再也不会有更大数值的，s=e！乘n；n=1,2,…,，u=e+1胞胎的素数。

对于大于10的，除了s=n！；n=e+2,e+3,…, ，s=(e+1)！乘n；n=1,2,…,， u=2的第b个3胞胎素数，其末项m[b+1]=m[b]+2素数j(m[b]+2)，其末位数必为：1、3、7、9，且不能被3、7，整除。当逐个增大至j(m[b+c])=j(m[b])+sc、j(m[b+c]+1)=j(m[b])+s(c+1)和j(m[b+c]+2)=j(m[b])+s(c+2)都是素数，则它们的末位数必都为：1、3、7、9，且除1外，都不能被j(m[b])的末位数整除。也就是，c 、c+1和c+2，且除1外，都不能被j(m[b])的末位数整除。因而，对于，任意大的b，即使趋于无穷大，c都是有限值。

而都能得出相应的u=e的e+1胞胎素数。

6．存在任意多的多胞胎素数

2004年4月18日，陶哲轩和格林两人宣布：他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”，也就是：存在任意多的多胞胎素数。

但是，不知他们是怎么证明的，且证明太繁复，长达50页。

而由本文节5．(2) ，u=e，所给出的e+1胞胎素数的规律性，就可见，确实存在任意多的多胞胎素数。并具体给出了它们的一些具体特征。