数值方程检验任意n次不可约代数方程的多种解法（2）

(接（1）)

1．利用方程根与系数间各关系式并需引进相应的根式的求解方法

1.1. 2次方程的解

对于方程：x^2+x+1=0,                                         (1.1.1)

设其解为x1、x2，则由方程的根与系数的关系，只有如下2个方程：

x1+x2=-1，                                     (1)

x1x2=1，                                       (2)

因只有2个方程，就不足以用如前逐次降幂、消去的办法求解。

而只能，由(1)平方：

(x1+x2)^2=x1^2+2x1x2+x2^2=1                     (3)

由(3)、(2)：

(x1-x2)^2=x1^2-2x1x2+x2^2=1-4=-3，得到：

x1-x2=(-3)^(1/2)                                   (4)

引进了2次的根式，再由(1)与(4)，即得解：

x=-1/2-或+((1/2)^2-1)^(1/2))=(-1-或+i3^(1/2))/2=w1,w2,                  (1.1.1*)

对于方程：x^2+1=0,                                           (1.1.2)

设其解为x1、x2，则由方程的根与系数的关系，只有如下2个方程：

x1+x2=0,    x1=-x2,                                         (1)

x1x2=1,    x1^2=x2^2=-1,                                    (2)

           x1 =-x2 =-或+i,                                         (1.1.2*)

   其实，由原方程x^2+1=0,就可得出：

x^2=-1, x2=-或+i,  

在此，就必须引出：(-1)^(1/2)= -或+i,而产生了虚数。

显然，此方程是不可约的。即：(x-i)(x+i)=0,的2个根都不是有理数。

对于方程：x^2+x=0,                                            (1.1.3)

设其解为x1、x2，则由方程的根与系数的关系，只有如下2个方程：

x1+x2=-1,    x1 =-1-x2,                                         (1)

x1x2=0,     x1或x2=0,                                         (2)

           x1 =0或-1, x2 =-1或0,   (均为有理数)                    (1.1.3*)

显然，此方程是可约的。即：x(x+1)=0,

应也能分别由1次方程：

x-0=0, 和 x+1=0，求解。

应区别于2次不可约方程。

这也正是解方程需要区分“可约”与“不可约”的原因，

1.2．3次方程的解

对于方程：

y^3+y+1=0,                                             (1.2.1)

方程有3个根y1，y2，y3，且有：

-(y1+y2+y3)=0, y1=-(y2+y3),                                 (1)

y1(y2+y3)+y2y3=1, (y2+y3)^2-y2y3+1=0, y2^2+y3y2+y3^2+1=0,    (2)

-y1y2y3=1,  (y2+y3)y2y3-1=0,  y3y2^2+y3^2y2-1=0,            (3)

由(2)、(3)对y2或y3逐次降幂，分别得到：

y3^3+y3+1=0,  或 y2^3+y2+1=0,  因而，不能用此法求解。

而只能利用x^2+x+1=0,的2个根，w1=(-1-i3^(1/2))/2,  w2=(-1+i3^(1/2))/2, 将y的3个

根由w1，w2，及两个参量z1，z2，分别表达为：

y0=z1+z2，y1=w1z1+w2z2，y2=w2z1+w1z2，而按方程根与系数的关系，有：-(z1+z2+w1z1+w2z2+w2z1+w1z2)=0,

1=(z1+z2)(w1z1+w2z2)+(w1z1+w2z2)(w2z1+w1z2)+(w2z1+w1z2)(z1+z2)

=-3z1z2,即：

z2=-1/(3z1),                             (1)

1=-(z1+z2)(w1z1+w2z2)(w2z1+w1z2)

=-(z1^3+z2^3),即：

z1^3+z2^3=-1,                           (2)

联立(1) (2)，即解得：

z1^6+z1^3-(1/3)^3 =0,

z1^3=(-1+(1^2+4(1/3)^3)^(1/2))/2

=-1/2+((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2),

z1=(-1/2+((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

z2=(-1/2-((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

  即引进了3次的根式，而解得：

y0=(-1/2+((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-1/2-((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

y1=w1(-1/2+((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+w2(-1/2-((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

y2=w2(-1/2+((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+w1(-1/2-((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3)，

对于方程：

y^3+1=0,                                             (1.2.2)

方程有3个根y1，y2，y3，且有：

-(y1+y2+y3)=0,y1=-(y2+y3),                                (1)

y1(y2+y3)+y2y3=0, (y2+y3)^2-y2y3=0, y2^2+y3y2+y3^2=0,        (2)

-y1y2y3=1,  (y2+y3)y2y3-1=0,  y3y2^2+y3^2y2-1=0,            (3)

由(2)、(3)对y2或y3逐次降幂，分别得到：

y3^3+1=0,  或 y2^3+1=0,  因而，也不能用逐次降幂法求解。

而y的3个根也只能由w1，w2，及两个参量z1，z2，分别表达为：

y0=z1+z2，y1=w1z1+w2z2，y2=w2z1+w1z2，而按方程根与系数的关系，有：-(z1+z2+w1z1+w2z2+w2z1+w1z2) =0,

0=(z1+z2)(w1z1+w2z2)+(w1z1+w2z2)(w2z1+w1z2)+(w2z1+w1z2)(z1+z2)

=-3z1z2,即：

z2或z1=0,                                                      (1)

1=-(z1+z2)(w1z1+w2z2)(w2z1+w1z2)

=-(z1^3+z2^3),即：

当z1=0，z2^3=-1, z2=(-1)^(1/3),  当z2=0，z1^3=-1,  z1=(-1)^(1/3),      (2)

  即引进了3次的根式，而解得：

y0=(-1)^(1/3),

y1=w1(-1)^(1/3),

y2=w2(-1)^(1/3)，

  原方程：y^3+1=0, 似乎也可解为：

y^3=-1,  y=(-1)^(1/3),

  但是，这就也可引入(-1)^(1/3)这个新的数类。

而且，由此可见，还可以有(-1)^(1/j)；j=2,3,...,n的各类：

j=1，就是实数1，j=2，就是虚数i，j=其它数，就也都是不同类的数，当j非素数，则该类是相应素数的相应次数的自乘积。都可形成不同的彼此正交的数轴。这种数轴可形成多维的复空间。

还需弄清它们与实数、虚数的各种关系，例如：

(-1)^(1/2)=i,  (-1)^(1/3)=j, i^(1/3)=j^(1/2), i^(2/3)=j, … 等等，

   会有很多复杂、麻烦，而由此已可仅由实数和虚数的各种开方，不宜，不变，采用其它任何新的数类。

对于方程：

y^3+y=0,                                             (1.2.3)

方程有3个根y1，y2，y3，且有：

-(y1+y2+y3)=0,y1=-(y2+y3),                                    (1)

y1(y2+y3)+y2y3=1, (y2+y3)^2-y2y3+1=0, y2^2+y3y2+y3^2+1=0,       (2)

-y1y2y3=0,  (y2+y3)y2y3=0,  y3y2^2+y3^2y2=0,                   (3)

由(2)、(3)对y2或y3逐次降幂，分别得到：

y3^3+y3=0,  或  y2^3+y2=0,  

   而因y2或y3都是方程的解，仍有：

y3^3+y3=0,  或 y2^3+y2=0,  即分别有：

y3=0，代入(2)有：y2^2=-1，y2=+i或-i，代入(1)有：y1 =0，

或

y2=0，代入(2)有：y3^2=-1，y3=+i或-i，代入(1)有：y1 =-i或+i，

(其中，有0可为有理数)                  

显然，此方程是可约的。即：y(y^2+1)=0,  (2个因式)

应区别于3次不可约方程。

这也正是解方程需要区分“可约”与“不可约”的原因，

对于方程：

y^3-1=0,                                             (1,2.4)

方程有3个根y1，y2，y3，且有：

-(y1+y2+y3)=0, y1=-(y2+y3),                                 (1)

y1(y2+y3)+y2y3=0, (y2+y3)^2-y2y3=0, y2^2+y3y2+y3^2=0,        (2)

y1y2y3=1,  -(y2+y3)y2y3-1=0,  y3y2^2+y3^2y2+1=0,            (3)

由(2)、(3)对y2或y3逐次降幂，分别得到：

y3^3-1=0,  或 y2^3-1=0,  因而，也不能用此法求解。

而y的3个根也只能由w1，w2，及两个参量z1，z2，分别表达为：

y0=z1+z2，y1=w1z1+w2z2，y2=w2z1+w1z2，而按方程根与系数的关系，有：-(z1+z2+w1z1+w2z2+w2z1+w1z2) =0,

0=(z1+z2)(w1z1+w2z2)+(w1z1+w2z2)(w2z1+w1z2)+(w2z1+w1z2)(z1+z2)

=-3z1z2,即：

z2或z1=0,                                                      (1)

1=(z1+z2)(w1z1+w2z2)(w2z1+w1z2)

=(z1^3+z2^3),即：

当z1=0，z2^3=1, z2=1^(1/3),  当z2=0，z1^3=1,  z1=1^(1/3),     (2)

  即引进了3次的根式，而解得：

y0=1^(1/3),

y1=w1  1^(1/3),

y2=w2  1^(1/3)，

  由原方程，似乎也可直接解得y=1^(1/3), 但是却得不出它的其它2个解。

对于方程：

y^3-y=0,                                             (2.2.5)

方程有3个根y1，y2，y3，且有：

-(y1+y2+y3)=0,y1=-(y2+y3),                                    (1)

y1(y2+y3)+y2y3=-1, (y2+y3)^2-y2y3-1=0, y2^2+y3y2+y3^2-1=0,       (2)

-y1y2y3=0,  (y2+y3)y2y3=0,  y3y2^2+y3^2y2=0,                   (3)

由(2)、(3)对y2或y3逐次降幂，分别得到：

y3^3-y3=0,  或  y2^3-y2=0,  

   而因y2或y3都是方程的解，仍有：

y3^3-y3=0,  或  y2^3-y2=0,  即分别有：

y3=0，代入(2)有：y2^2=1，y2=+1或-1，代入(1)有：y1 =-1或+1，

或

y2=0，代入(2)有：y3^2=1，y3=+1或-1，代入(1)有：y1 =-1或+1，

(均为有理数)                  

   显然，此方程是可约的。即：y(y-1)(y-1)=0, (3个因式)

应区别于3次不可约方程。

这也正是解方程需要区分“可约”与“不可约”的原因，

由2次、3次方程的解法看来，分别都要引进相应的根式。

对由文字表达系数的方程就有所谓“根式解”

看来，这可能正是伽罗华研究方程可解性判据的思路起点。

（未完待续）