李雅普诺夫指数是表示相空间内邻近轨迹的平均指数发散率的数值特征。由于混沌的初值敏感性使得初始时刻靠得很近的两条相轨迹随着时间增长逐渐远离，李雅普诺夫指数可以定量地刻划这种邻近相轨线的发散性，因此成为一种数值识别混沌的方法。利用相空间中相邻轨线的发散程度去度量随机性的思想起源于1964年埃侬和C. 海勒斯 (Heiles) 的工作。1968年，V. I. 奥塞勒迪克 (Oseledec) 将这一思想精确化，定义了李雅普诺夫指数。

在n维相空间中，某个时刻两条邻近轨迹上点连线矢量可以分解在n个不同的方向，这n个不同方向上的距离增长率通常不同，每一个增长率就是一个李雅普诺夫指数。以n个自治一阶常微分方程组描述的动力学系统

为例，更精确地表述上述直观思路。选该系统两条起始点相近的相轨L₁线和L₂，起始点分别为x₀和x₀+Dx₀。t时刻L₂和L₁上的点为x(x₀+Dx₀,t)和x(x₀,t)，记w(x₀,t)=x(x₀+Dx₀,t)-x(x₀,t)。当L₂和L₁充分接近，w很小可以从上式的线性化方程计算。这两条相轨线沿w方向的平均指数发散率为

其中w₀=w(x₀,0)。在n维相空间中w的全体张成一个随相轨线运动的n维空间。选择该空间的一组基底{e_i,i=1,2,…,n}，对应于每个基矢量e_i，由上式可确定n个数值λ(x₀,e_i) (i=1,2,…,n)。将这组数值由大到小排列为λ1,λ2,…,λ_n，即是该系统的n个李雅普诺夫指数。对于差分方程描述的离散时间动力学系统，也可以类似地定义李雅普诺夫指数。

李雅普诺夫指数可以作为一个重要的运动特征量。在运动过程中，正李雅普诺夫指数表示初始偏差在对应方向上的发散，负李雅普诺夫指数则表示初始偏差在对应方向上的收缩。对于自治动力学系统，如果所有李雅普诺夫指数均为负，系统将趋于平衡状态；如果有些李雅普诺夫指数为零而其余的为负，系统作周期性运动；如果存在正李雅普诺夫指数，系统就具有初值敏感性，其有界的运动可能是混沌。

用李雅普诺夫指数识别混沌只需确定最大李雅普诺夫指数是否为正。因此，在识别混沌时往往不需要计算出系统所有的李雅普诺夫指数，而只需最大李雅普诺夫指数，这样可以大大减少计算量。计算最大李雅普诺夫指数基本思路如下。如图1所示，取起始点分别为x₀和z₀的两条轨线L₁和L₂，两起始点之间的距离d₀=|z₀-x₀|。沿着轨线L₁和L₂运动，经过时间Dt后分别到达x₁和y₁，这时距离为d₁=|y₁-x₁|。在x₁和y₁之间取一点z₁使得|z₁-x₁|=d₀，过z₁ 的轨线记为L₃。再以x₁和z₁为起始点，分别沿着轨线L₁和L_3，经过时间Dt后运动到x₂和y₂，这时距离为d₂=|y₂-x₂|。如此循环下去，经过m个Dt后得到m个d_i (i=1,2,…,m)，其中d_i=|y_i-x_i|。由于d_i在切空间中最大李雅普诺夫指数所对应的基底矢量方向的增长远大于在其它方向上的增长，故最大李雅普诺夫指数为

 计算最大李雅普诺夫指数示意图

由最大李雅普诺夫指数的定义知，当l₁>0时，系统有初值敏感性，有界运动将为混沌；当l₁=0时，系统对初值不敏感，呈现周期性运动；当l₁<0时，系统长期行为与初值无关，收敛到平衡点。

扩展阅读

M. Hénon, C. Heiles. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments. Astronomical Journal, 1964, 69: 73-79.

V. I. Oseledec. A multiplicative ergodic theorem: Liapunov Characteristic mumbers for dynamical systems. Trans. Moscow Math. Soc.,1968, 19: 197-231.

A. Wolf, J.B. Swift, H.L. Swinney, J.A. Vasano. Determining Lyapunov exponents from a time series. Physica D, 1984, 16: 285-271.

力学百科条目：小引

非线性动力学(特长条)

混沌(长条)

初值敏感性 (短条)

洛伦茨方程(中条)

范德波尔方程(中条)

自激振动(中条)

跳跃(中条)

厄农映射(中条)

横截同宿点

《中国大百科全书(第3版网络版)》“李雅普诺夫指数”