“混沌与非线性思维”是通识教育课，于2011-2012学年冬季学期首次开设，共20学时。目前已经讲完一轮。听课学生共130人，绝大多数是理工大类学生，也有少量人文大类和经管大类学生，还有少数美院的高年级学生。

本课程的教学目标是，阐述混沌、分形、分岔等科学概念及其历史演化和文化影响，强调非线性系统的本质特性，使得学生能从非线性的角度观察和思考广泛存在于自然和社会中的不可预测和不确定现象。

1 课程的主要内容

引言介绍非线性，包括线性与非线性、线性模型的意义与局限、线性思维与非线性思维、追求简单性与探索复杂性。

第一讲2学时，分析虫口模型中的周期点及其稳定性，引入倍周期分岔和混沌的概念。

第二讲6学时，阐述混沌概念及其演化。具体内容有，中国和西方文化中的关于混沌 “言”与“意”； 非线性动力学意义上的混沌，包括Maxwell、Duhem等对初值敏感性的认识，Poincaré的开创性贡献，Smale马蹄，Lorenz方程，上田吸引子，混沌的Li-Yorke定义；混沌的物理实例与运动的几何表示。

第三讲4学时，说明分形与混沌。具体内容有，自相似性、维数与分形；几何中的分形，包括Cantor集及其空间推广、Koch曲线、Sierpiński 三角形和地毯、Menger海绵和非规则体分析；动力学中的分形。

第四讲2学时，说明分岔与混沌，包括分岔概念、静态分岔、动态分岔和进入混沌的路径。

第五讲2学时，概述物理和工程系统中的混沌，及混沌对社科和人文的影响。

结束语是非线性思维的初步分析，包括非线性系统的特性，及其对现实世界中不确定性的认识和应对。

2 与外校同类课程比较

由于混沌这一概念在现代科学技术中的重要影响，有许多高校开设为本科生开设了与混沌相关的课程。这里仅以国外、国内和本市的3所高校为例。

美国麻省理工学院的开设有“Nonlinear Dynamics I: Chaos”，并制作成视频公开课。该课程受众对象为理工科本科生。该课程更接近国内的专业基础课，周4学时，总学时52。课程内容全面，不仅有混沌和分形的主要内容，还包括相关的振动理论、流体动力学和信号处理等。

北京大学开设有素质教育通选课“自然科学中的混沌与分形”。该课程的受众对象为文理二年级以上本科生和研究生，周学时2，总学时36。课程着重物理概念和几何图象，深入浅出地对非线性理论中的混沌、分形、分岔和突变等重要概念及应用作较详尽的介绍。

上海交通大学开设通识教育课“自然界中的混沌与分岔”。该课程的受众主要是大学一、二年级本科生，也有高年级本科生和研究生。周学时2，总学时34。课程介绍物理、化学、生物、机械、电子、地学、经济和社会学等诸多科学领域中的混沌和分岔。

与这些同类课程相比，本课程总学时更少，只有20学时(周学时为2)；主要为一年级新生开始，对先修课程要求更低；特别是本课程注重与人文内容结合，注重相关概念的历史演化分析，因此更具有跨学科综合的通识教育特性。

3 课程的主要特点

本课程用通俗易懂的方式介绍现代非线性动力学的基本概念，使得学生对这一蓬勃发展的研究领域有初步的了解。同时说明非线性动力学的文化影响，以开阔视野活跃思路，提供学生思考问题的新视角。具体有下列主要特色：

通俗地阐述非线性动力学的核心概念

本课程围绕非线性动力学的核心概念混沌展开，同时也涉及与分形和分岔概念，特别是两者与混沌概念的关联，即奇怪吸引子和进入混沌路径。所需要基础知识不超过听课学生正在学习的微积分和大学物理。讨论两类典型系统中的周期和混沌运动，离散时间系统虫口模型和连续时间系统非线性振子；用直观的几何表示包括时间历程、相平面图和Poincaré映射区分周期性运动和混沌运动；突出混沌的初值敏感性、非周期性和长期不可预测性。分形着重说明自相似性和分数维数，计算了规则几何结构的维数，并说明这些计算方法向非规则结构的推广。用物理实例说明分岔，包括静态分岔和动态分岔；从动态分岔的角度解释生活和工程中的动力学现象，例如荡秋千和绳系卫星的子星减振。

说明非线性动力学的文化影响

非线性不仅是数学模型，也是种思维模式。在课程中说明现实世界的多样性和不确定性。线性世界里“种瓜得瓜，种豆得豆”、“一分耕耘，一分收获”。习惯于整体为部分之和、投入产出成比例就落入了线性思维的窠臼。现实世界有时候呈现非线性的特征，“播下的是龙种，收获的却是跳蚤”、“失之毫厘，差以千里”。非线性思维也许难以概括为具体的规则，最重要的是时刻保持开放的心态，以应对各种可能性。除思维模式外，混沌等非线性概念也对文学艺术有一定影响。例如倍周期分岔图用于时装设计，分形图用于美术装饰，一些小说和电影中也有“蝴蝶效应”等概念。

强调概念的历史演化过程

本课程同时具有科学史的属性。在历史与逻辑的双重变奏中，让学生理解非线性动力学的核心概念。对于混沌概念，详尽地分析了其历史演化过程，揭示不稳定性、非周期性、不可预测性和初值敏感性是如何逐渐成为其内涵。对于分形概念，说明了数学工具分数维的起源以及Mandelbrot的开创性贡献。对于分岔概念，说明了最早的分岔问题，压杆屈曲。在教学中介绍了非线性动力学开创者如Poincaré, Smale, Lorenz, Feigenbaum, Mandelbrot等的生平和贡献，并且推荐他们的经典论文供学生课外阅读。

注重用经典和文学语言帮助学生理解科学概念

讲解混沌概念时，从中文典籍中引用了《礼记·经解》中的“差若豪厘，谬以千里”，《尚书·盘庚上》中的“若火之燎于原，不可向迩，其犹不可扑灭”，苏轼的诗句“竹中一滴曹溪水，涨起西江十八滩。”为对字面意思有更清晰的认识，分别借助《辞源》和《牛津大字典》解释“混沌(chaos)”的词义，并引征《庄子·应帝王》、《三五历记》、《白虎通·天地》和唐诗中有“混沌”的内容，还引征了《神谱》、《变形记》、《圣经》等中英文译本中有“混沌(chaos)”的内容。讲解分形概念的自相似性时，引用了Swift诗“On Poetry: A Rhapsody”的片段，Blake 诗“Auguries of Innocence”的片段，及《华严经》中“一花一世界，一木一浮生……”的说法。讲解分岔概念时，引述了Frost的诗“The Road Not Taken”；说明倍周期分岔时，引用《易传·系辞上》第11章的“易有大极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”。

4 今后的改进设想

通过阅读学生的学习小结，并反思自己的教学，对下轮教学有下列改进设想：

在教师的个人理念与学生的期待之间更好平衡。例如，我个人认为求知本身就美好愉快，而学生更希望知道知识的用处；又例如，我个人认为教学内容是否学懂不重要，关键是有启发性，而学生还是希望能有种学懂弄通的感觉。

希望把课程名称改为“混沌及非线性思维”。更符合实际内容，也突出理科课程的特性，避免误导学生。

增加互动环节。例如课堂提问。又例如让学生自己收集混沌运动实例，经教师挑选后在课堂讲解或演示，这些同学的平时成绩可以记满分。“无处不在的混沌”部分内容由同学讲。

提高教学的直观性。例如，在第一次课就可以放些混沌运动的视频。

加强对课外阅读的指导。每次课具体到页布置课外阅读，包括必读和选读。

平时书面作业只写篇读书报告，取消课程论文的选项，因为从本轮的情况看没有达到预期的效果。读书报告的内容也限定在参考书和文献内。

考虑再减少一些内容。

附记：该文参加教务处、学工办、社区学院、高教研究所、校报编辑部主办上海大学“通识教育教与学”征文，获教师组三等奖 。