格物笔记（10）：说不尽的“奥伯斯佯谬”

引子

  我已经很久没有写物理相关的博文了。近者耽于文史，颇有些“此间乐，不思蜀也”，案头放的是吕思勉和王桐龄，规划中待交账的“文债”大半还是关乎文史。这正是：入戏太深，自己当了真......

  所幸昨夜挑灯（准确的说是今天凌晨）读了张江敏老师的博文《奥伯斯佯谬之蓝天与黑夜》http://blog.sciencenet.cn/blog-100379-873020.html，盖“瑞利散射”与“奥伯斯佯谬”云云。窃以为此文甚好，不花哨，属直指人心，明心见性的科普小品，贵在“反思的呈露”，又有了哲学的味道。

  好比浅酌一杯，生了些兴致，终于忍不住啰嗦......

一、数学是个终结者

All problems on metaphysics could be reduced as finding somewhere exact to cut off the chain ofcausality.

一切形而上难题都可以化约为寻求一个适当位置斩断因果链。

——摘自《“二把刀”山寨Wittgenstein语录》

  形而上问题（在这里取metaphysics的字面意思，不用“形而上学”这个词，因为它在我们的语境中有时特指“机械自然观”或“机械唯物主义”）之所以困难，在于追溯起来循环往复，没完没了（比如“鸡生蛋or蛋生鸡”）。要斩断一条“又臭又长”的因果链，最好的武器是以数学符号为语言，以逻辑推理为结构的“快刀”——比所谓“奥卡姆剃刀”要精细些。

  “奥伯斯佯谬”就是这样一个没完没了的形而上问题......

   先从牛顿老人家说起。“异教徒”布鲁诺之后，宇宙（在时间和空间上）的无限逐渐成为了大家的“常识”，我们的“祖师爷”牛顿也不例外。他敏锐地注意到一点：如果宇宙是无限的，宇宙中的物质分布一定是不均匀的。牛顿归谬的思路大致如下：假设物质在宇宙中分布均匀，那么宇宙整体上有不随时空变化的物质密度ρ，把宇宙视为一个半径为R、质量为M的球，那么这个球体边缘的引力势（取球心引力势为0,当然今天我们更喜欢取无穷远处为0）为

$V=\frac{GM}{R}=\frac{4\pi\rho }{3}GR^{2}$

显然在宇宙是无限的前提下， $R\rightarrow \infty$ 则 $V\rightarrow \infty$ .牛顿认为这是相当荒谬的结果——我们今天也这么看：一个理论模型预言一个可观测的物理量趋于无穷意味着这个理论模型在这里失效了。

   1826年，德国人奥伯斯（H.Olbers）提出了与牛顿“相似”（注意只是相似）的观点：如果宇宙是（时间上）静态、（空间上）无限、（质量分布）均匀的，那么星空应明如白昼，而黑夜根本不存在。奥伯斯本人及后世追随讨论者更多是在形而上的思辨层面来探讨这个问题，我们最好还是像牛顿那样把数学请出来：在宇宙静止、无限、均匀的前提下，设所有恒星的平均光度为L,恒星空间数密度为n，则在地球上接收到全天所有恒星星光的总照度为

$E=\int_{0}^{r}\frac{Ln}{4\pi r^{2}}\cdot 4\pi r^{2}dr$

宇宙空间上的无限导致r趋于无穷，故E也趋于无穷——这还是相当荒谬！

   应当注意，无论是牛顿还是奥伯斯，他们的归谬都用到了两个假设作为推理的“前件”：

   1.宇宙是（时间上）静态、（空间上）无限、（质量分布）均匀的。

   2.宇宙是“各向同性”的。

   前者比较明显，而后者比较隐晦——它表现为辐射随空间的反比平方关系，也就是常说的“反比平方律”，即

当然，这两个假设所描述的“事态”都无法直接在实际的物理观测中检验，这时需要物理学最基本的一个实验原则介入：把不能在实验观测中直接测量的物理量转化为可以直接测量的物理量，把不能在实验观测中直接检验的事件（作为逻辑前件）转化为可以直接检测的事件（作为逻辑后件）——也许极端的实证主义者（比如玻尔）会对此不满，在他们看来物理学只关心实验室里可以看到并真的看到的“事实”。

    也就是说：

     事件 $p=(r\wedge s)$ ,

     r="宇宙是（时间上）静态、（空间上）无限、（质量分布）均匀的。"

     s="宇宙是各向同性的"

      $(p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\sim q\Rightarrow \sim p)$ ,"若p则q"等价于“并非q则并非p”(原命题与其逆否命题等价)

     观测到 $\sim q$ ,则有 $\sim p=\sim (r\wedge s)=(\sim r)\vee(\sim s)$

即观测到总照度有限，或者假设1不成立，或者假设2不成立。

   今天对“奥伯斯佯谬”的种种解释都是把矛头指向假设1，或者认为宇宙质量分布不均（牛顿观点），或者认为天体寿命有限（宇宙在局部的动态演化），甚至也有以引力常量随距离递减的观点。假设2的地位则非常稳固，因为否定“各向同性”就会否定掉“反比平方律”，而后者在足够大时空尺度上（宏观低速）与观测吻合得很好。

   其实，今天我们对宇宙整体的认识还是基于“奥伯斯佯谬”的两个假设，只是对假设1做了必要的扬弃，在现代宇宙学中这两个假设被重新表述为：在足够大的时空尺度上，宇宙整体质量分布均匀且时空各向同性，即所谓“宇宙学原理”（cosmological principle ）——之所以要强调“足够大的时空尺度”，是无法避免宇宙在局部的各向异性与质量不均（比如太阳系、银河系）。

   宇宙学原理是基于爱因斯坦广义相对论的宇宙学之基础，根据老爱本人的解释，之所以要保留些假设是因为要用它来代替整个宇宙的边界条件——宇宙是没有边界条件的。但在对宇宙学原理的具体把握上，爱因斯坦犯了一生中“最大的错误”（这可是他自己是说的），因为他还固执地坚持宇宙在时间上是静态的——此中涉及著名的“宇宙常数”，按下不表。

   一般教科书上的说法，基于广义相对论的现代宇宙学确立后（尤其在动态演化的宇宙模型中），“奥伯斯佯谬”好像就自然而然地消失了。问题是：它真的被数学武装起来的物理学给终结了吗？

   ——God knows!

    最好问霍金......

二、能被数学终结的哲学问题不是一个好的物理学问题！

南方无穷而有穷。

今日适越而昔来。

......

我知天之中央，燕之北、越之南是也。

——摘自《庄子·杂篇·天下》

形而上难题往往都是没完没了的，因为它们几乎都同构一个问题：有限还是无限或有穷还是无穷的问题——按徐利治先生的标准（手头没书，可能记得不清了，欢迎指正），infinite这个词儿，如果是针对离散的对象可用“无穷”，如果是连续的对象可用“无限”。

关于这个问题嘛，数学家在牛顿、莱布尼兹时代认为自己弄清楚了......在柯西、魏尔斯特拉斯时代也认为自己弄清楚了......在希尔伯特、弗雷格时代又认为自己弄清楚了......

今天到底怎么样？——反正我不知道也看不懂了。

哲学家也总有些另类：康德在前面指引，尼采操一把铁锤向“苏格拉底”的圣像砸去，海德格尔在后面跟进，恩格斯和维特根斯坦沿着不同的路径宣布“哲学的终结”——这样斩断因果链，太暴力了！

物理学得回到自己的历史中去：宇宙有限还是无限的问题其实一直和“上帝”的位置纠缠不休......

今天一说物理学史一定得上溯到古希腊去，亚里士多德已经为我们准备好了“物理学”（physics）这个词，却和我们今天广泛使用的涵义完全不同——我们今天离开物理学史谈的物理学是从牛顿开始的，它的“道统”（如果存在的话）是以“反亚里士多德”(准确的说是反天主教塑造的亚里士多德)为基础的。这个转折可以牛顿的名著《自然哲学的数学原理》为标志，一如这个响亮的名字（它蕴含了物理学的全部核心），之前是“自然哲学”（natural philosophy）的时代，之后才是“物理学”的王朝。套用克劳塞维茨的名言，我们可以说：物理学是数学化的自然哲学，自然哲学是无数学的物理学——贯穿其中的是实验的精神（谁说亚里士多德不做实验？！），而数学或者说逻辑全面的介入恰恰是亚里士多德与牛顿之间的中世界所谓“经院哲学”（scholasticism）传统。

亚里士多德时代还处于自然哲学阶段的物理学与高度数学化的天文学（以托勒密为集大成者）本来是两条知识路径，中世纪天主教的“大一统”为二者提供了合流的平台。然而无论是古希腊的亚里士多德、欧多克斯、阿里斯塔克、托勒密，还是中世末期的哥白尼、第谷、开普勒，甚至到伽利略，他们都很自然地把自己所描绘的宇宙圈定在有限的范围，他们需要予上帝以空间。只有一个毫不专业的“异教徒”布鲁诺选择在神学意义上狂热地宣扬无限宇宙进而将上帝排挤出去，最后他被烧死了。而牛顿的高明之处正如他在《原理》（为回应自己不信神的攻讦）中消解掉了中世纪的上帝，从而构造了"物理学时代的上帝"（就是爱因斯坦口中“斯宾诺莎的上帝”）——他把上帝对宇宙的占有权转化为上帝对宇宙规律的支配权。从此物理学家不必在宇宙中预留“奥林匹斯山”，宇宙规律存在，上帝就存在，宇宙无限意味着上帝的荣耀永恒——“宇宙无限”终于可以作为一个羞答答的常识得以宣扬.......

广义相对论刻画的一个“有限而无界”的宇宙，以及衍生出的the Big Bang,激发了沉默已久的教廷新的热情——终于可以不带任何负担地为伽利略平反。

保罗二世不无欣慰地告诫霍金（1981）：够了，请到奇点为止，其它的（时间之前、空间之外）留给上帝。

故事还没有结束——

2011年霍金又带着他的《大设计》（The Grand Design）登场了，单从这个名字，我们就知道，他的野心远胜牛顿，这一次他要“代上帝立言”......