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知之惟艰----反问题在石油勘探中的应用 (4)
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《古文尚书》中有 “非知之艰，行之惟艰”的说法，是讲“知道一件事情并不难，难的是把事情做好”。数千年来，中国的先哲对“知易行难”和“知难行易”两个命题的谁是谁非论争不断。
在科学研究中，如果是求解一个正问题，“知易行难”的描述可能是比较贴切的。因为问题的规律、初始状态和模型都是已知的，我们只需要继承前人的知识，花费一些努力来计算、观测、考察各种现象变化。总的来说，这种研究工作是比较直接的。
反问题的研究重在探测和发现。如前面所述，虽然不能直接上天入地，但是通过求解反问题可以使得我们找到极遥远的天体和极幽深的宝藏，这就如同让我们有了神通。这种神通的得来并非容易。相对于正问题而言，反问题的研究要困难得多，可谓“知之惟艰”。这是因为反问题的求解往往违背了事物发展过程的自然顺序，从而使正问题中的许多良好性质不再满足。更何况我们搜集到的资料经常是真伪交杂、缺失含混的，这就更增加了求解的困难。尽管如此，解决反问题仍然像破案猜谜一样引人入胜。举一个文史方面的例子。《西游记》在中国是家喻户晓的神话名著，但是四百年来，这部小说的作者是谁却是一个谜团。由于早期刻本没有作者署名，清初刊刻时有好事者将著名道士丘处机的名字冠于卷首，混淆视听。直至民国初期，胡适先生通过书中的内证，认定作者的时代是明朝中叶以后，生活在元朝初期的丘处机属冒名顶替。接着，他和鲁迅先生一起搜罗史料，悉心考证，认为作者是明代嘉靖年间的淮安人吴承恩。但是由于大量史料散佚，直接证据阙如，这个结论也仍然受到质疑。目前提出的《西游记》候选作者约有十人之多，解未收敛，仍属悬案。
法国数学家Hadamard认为一个有意义的物理现象的数学问题要满足适定性，即问题的解要具有存在性、唯一性和稳定性。这个观念深刻地影响了数学物理的发展。但是反问题的出现为人们提出了一大批病态的方程和问题，违背Hadamard的适定性要求，导致了研究上的困难。
我们前面提到的声波勘探技术就是一堆不适定性反问题的集合。我们简单举几个例子：
1. 去除噪声：噪声是信号中的假信息。如果不能有效地切除噪声，可能将反问题的求解引入歧途；甚至导致矛盾方程，违背的解存在性。把金粒和沙粒混在一起是一件再容易不过的事情，但是沙里淘金就颇费周折。我们要区分噪音与信号的不同性质，通过一些巧妙的变换来去伪存真，纠偏校正。例如：高频噪音可以通过信号的统计性质来进行鉴别；特殊的低频噪声可以在频率域进行切除；干扰成像的横波、地滚波可以通过时空分布的特殊性在一些高维变换域中进行分离；多次反射可以用波场的线性变换来有效预测，等等。
2. 层析成像：这是目前最流行的速度建模方法。它的主要部分是求解一个大型的病态线性方程，来估计各个网格点上的速度值。这个病态方程在一些区域是超定方程，需要利用信息的冗余度来提高解的可信度；而在另一些区域又是不定方程，存在严重的多解性。针对这类线性不适定性问题，前苏联Tikonov等学者提出了正则化方法。方法的主要思想是：利用对解和数据误差的先验估计可以将问题的求解限定在某个较小范围内。通过对问题的适当改造，将原本不适定的问题转化为适定的最优化问题求解。而且先验估计表明在一定精度下用正则化方法求得的解是合理的。这很像是猜谜：“申明：我是戴高乐派来的间谍”。如果只是“打一人名”，猜起来就比较困难。如果限定 “打一当代国际政治人物”，范围缩小了，就可以通过筛选，找到最优的答案---- “阿拉法特”。
3. 偏移成像：尽管波动方程的正问题是一个线性方程，它的探测反问题却是非线性的，而且线性化后的逆算子求解也很困难。长期以来，地球物理学家用计算波动方程的共轭算子来替代求解逆算子，这样可以得到稳定的构造成像。所谓“计算波动方程的共轭算子”就是象《大话西游》中的月光宝盒一样让时光倒流，将地面接收的波场信号逆时间方向回传，从而找到产生反射的地下构造，显影造像。有趣的是，我们可以证明只要选择正确的求解域，对这种传统算法稍加修改，就可以得到有明确物理意义的稳定的反演解法。
4. 衰减补偿：经典的波动方程假设声波在传播时能量是守恒的。但是实际的传播过程中，一部份声波能量会转化成热能耗散掉。而且震动快（高频）的波比震动慢（低频）的波更容易被吸收。求解这类现象的反问题就更困难了。因为时间倒流时方程的能量会不断增大，一方面记录中混杂的噪音会被迅速放大，另一方面一些有效信号在正演时被衰减殆尽而无从恢复。这时的反问题违反了解的稳定性，连月光宝盒都失灵了，必须借助某种具有正则化性质的月光宝盒来近似恢复历史本来面目。
实际上，石油勘探的反问题经常存在着信息先天不足的缺陷。我们在医院做B超诊断时，探头可以围绕全身，这样就能够完整地接收超声波的各种反射和散射信息，有效地对病灶进行探测。但是对于地下构造进行勘探时，我们只能把爆炸源和接收器放置在地面或海面的有限范围内。很可能我们的声波达不到地下的一些构造位置；或者虽然声波能够达到，但是反射信号会传播到很远的地方，不能被接收器采集记录。这就造成了很多地下的成像盲区（图7）。另外，现有的偏移成像算法还不能完全解决由于多解性所导致的假像问题（图7），这些假的构造会误导地质解释人员做出误判。在实际生产中，我们需要通过试验和分析，对这些具体问题作出判断和解释。
图7：一个理论合成记录的偏移成像结果（左）和真实的速度模型（右）。曲线框标示的区域是由于观测方法限制所造成的偏移成像盲区。红色箭头所指是偏移成像算法得到的假像。
用传统的眼光来看，存在性、唯一性和稳定性，三者之一不满足就称为不适定性问题，这样的问题是不值得研究的。但是反问题的研究开阔了人们的视野，认识到这样的问题是大量存在的，并且有着重要的研究和应用价值。反问题有着特殊的困难，它向我们提出了许多在认识论、方法论中富有挑战性的课题，深化了对客观现象的理解。因而反问题的研究确有它独立的价值。
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