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索隐探秘---- 反问题在石油勘探中的应用(3)
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读者或许会感到石油勘探所涉及的数学问题有些别致。在大学的数学物理课堂上，通常是给定震源、边界条件和介质速度，列出声波方程，再来探讨声波现象或计算接收到的声波信号。但是现在我们的问题“反”过来了，通过接收的信号来探测什么样的介质能够产生这样的观测现象。为了体现这个差别，我们把这类问题称作“反问题”。而传统的“已知模型、初边值条件和源项来计算结果”的问题就叫做“正问题”。世间的事物或现象之间往往存在着一定的自然顺序，如时间顺序、空间顺序、因果顺序，等等。所谓正问题，一般是按着这种自然顺序来研究事物的演化过程或分布形态，起着由因推果的作用。反问题则是根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响，起着倒果求因的作用。可以看出，正、反两方面都是科学研究的重要内容。
以线性方程为例，它的正问题是已知矩阵
和向量
，求它们的乘积
和向量，求它们的乘积
它的结果是存在的、唯一的、而且稳定的。现在我们观测到的是带有噪音的数据
可以有很多种反问题的提法：
1. 已知
，分离信号和噪音，求出
；
，分离信号和噪音，求出；2. 已知和
，求出输入数据
；
和，求出输入数据；3. 已知和 ，求出模型机制；
和 ，求出模型机制；4. 已知，求出输入 和模型，这时问题变成非线性。
，求出输入 和模型，这时问题变成非线性。上面任何一种反问题都比正问题要困难得多。
反问题通常体现了一种逆向思维。冯康先生在上世纪八十年代初曾经著文《数学物理中的反问题》，较早地介绍了这个新的研究方向。他将反问题的功能概括为“由表及里”、“索隐探秘”、“倒果求因”。在中国的传统文化中，只有智者高人才能透过现象看清本质，甚至参透因果，一语破的。科学化的反问题研究为我们在解决问题，增长智慧方面提供了很好的案例和方法论。
在西方，侦探小说有着悠久的传统，犹如武侠文化在中国。物理大师Einstein（爱因斯坦）在他与Infeld 合著的《物理学的演化》一书中，反复将物理学家探寻自然奥秘的工作和神探的破案过程进行类比：
“自Conan Doyle（柯南道尔）演绎出精彩的福尔摩斯探案故事以来，在侦探小说中总会出现这样一幕：侦破者针对案件的某个方面搜集到他所需的线索。尽管这些线索看上去支离破碎、杂乱无章、怪诞费解，但是能力超凡的侦探认为不需要进一步调查了，眼前的证据已经足够，剩下的只是通过慎思明辨来发现事实背后的脉络。这时，他或者拉一段悠扬的小提琴曲，或者斜倚沙发，默默地叼着烟斗。突然间，灵光迸现！他不仅找到了对已知线索的合理解释，而且确信发生了一些迄今未了解到的情节。因为准确地推演了作案情境，他甚至知道可以到哪里去采集新的证据来证实他的推断。”
上面描述的破案过程就象是在求解反问题。当理性穿透现实的迷雾时，那种清澈、喜悦和潇洒的感觉是多么具有诱惑力！
图5：神探福尔摩斯
我们下面看一个科学史上的著名的案例，来体会一下反问题的提出和解决过程。1781 年，天王星被确认为太阳系的第7 颗大行星。40年后，法国天文学家Bouvard 搜集了一个多世纪来的全部观测资料，包括了1781 年之前的旧数据和之后的新数据，试图用牛顿的天体力学原理来计算天王星的运动轨道。他发现了一个奇怪的现象：用全部数据计算出的轨道与旧数据吻合得很好，但是与新数据相比误差远超出精度允许的范围；如果仅以新数据为依据重新计算轨道，得到的结果又无法和旧数据相匹配。Bouvard 的治学态度非常严谨，他在论文中指出：“两套数据的不符究竟是因为旧的观测记录不可靠，还是来自某个外部未知因素对这颗行星的干扰？我将这个谜留待将来去揭示。”
首先，Bouvard 等天文学家核查了1750 年以后英国格林尼治天文台对各个行星所作的全部观测记录。结果发现，除天王星以外，对于其它行星的观测记录与理论计算结果都符合得相当好。似乎没有理由怀疑旧的天文观测唯独对天王星失准。既然如此，天文学家就需要对天王星的不规律运动作出科学的解释。
摆在天文学家面前的有两条路。
第一条路是质疑牛顿力学的普适性，或许万有引力定律不适用于距离太阳遥远的天王星，需要对之进行修正；
第二条路是寻找Bouvard所猜测的“未知因素”。于是人们提出了“彗星撞击”、“未知卫星”和“未知行星”等多种可能。
在科学研究中，困难是智者的试金石。1841 年的暑期，还是英国剑桥大学二年级学生的Adams 就定下计划，不仅要确认天王星的轨道异常是否来自未知行星的引力作用，还要尽可能地确认这颗新行星的轨道，以便通过观测来发现之。这不仅是一个新问题，而且是一个反问题。因为过去总是已知一颗行星的质量和轨道，根据万有引力定律计算出它对另一颗行星产生的轨道摄动。而现在则相反，Adams 要假定已知天王星轨道的摄动，来计算出产生这一摄动的未知行星的质量和轨道。由于未知因素很多，实际计算起来是相当复杂和困难的。
Adams 于1845 年彻底解决了这个反问题。他所运用的方法在当时是空前新颖的。令人遗憾的是，英国天文学家Airy 先入为主地认为天王星的轨道问题是引力定律不再适用的结果，没有重视Adams 向他提交的新行星的轨道计算结果。
几乎与此同时，法国人Le Verrier 独立地解决了同样的反问题。1846 年9 月23 日，柏林天文台的Galle 按照LeVerrier 提交的计算轨道着手观测，当晚就在偏离预言位置不到1 度的地方发现了一颗新的八等星。连续观测的数据都与Le Verrier 的预测结果吻合得很好，证实这是一颗新行星。这时英国天文台才想起了Adams 的工作，悔之晚矣。
案子破了。干扰天王星正常运行的那颗神秘天体正是太阳系的第8 颗大行星——海王星！不仅长期困扰天文界的天王星轨道异常问题在牛顿力学框架内得到了完满解释，而且海王星的发现进一步验证了牛顿力学的正确性。
图7: 发现天王星轨道异常现象的Alexis Bouvard（左，1767-1843）。成功地解决了这个难题并且预测了海王星轨道位置的John CouchAdams （中，1819-1892）和Urban Le Verrier （右，1812-1910）。
反问题的研究遍及各个领域，包括了定向设计，成像扫描，物性探测，逆时反演等很多技术，内容丰富，在工业、农业、国防、医学、金融、考古等各方面都有重要的应用。
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