PhysRevE.99.012304(2019).pdf [作者：汤龙坤 吴晓群 吕金虎 陆君安 Raissa D'Souza]

  多层网络的主稳定函数方法

一

最近几年网络的网络（network of networks），多层网络（multiplex networks或multilayer networks）以及相互依存的网络（interdependent networks）已成为网络科学领域最重要的前沿研究方向之一，而同步问题一直是网络动力学研究的一个基本问题。

       我们知道，在研究网络动力学和同步中，主稳定函数方法 (Master stability functions) 是判定网络同步的最重要方法之一。首先我们来看一般的单层网络的主稳定函数方法。考虑N个节点组成的无向网络，模型如下：

其中，c 是耦合强度，矩阵表征网络拓扑结构对应的Laplacian矩阵，特征值为，节点间的耦合简单取为线性耦合，即 H(x)=Hx ，此时，矩阵H 称为内联矩阵。通过变分解耦，可得下列的主稳定方程

这里为非零特征模块，即非零特征值与耦合强度的乘积。由主稳定方程可网络的同步稳定域：

其中为方程（2）的主稳定函数（最大李雅普诺夫指数）。所有的特征模块都落入同步稳定域，即是网络取得完全同步的必要条件，一般使用中就用此条件作为同步的判据。

       同步区域最基本的类型是有界和无界两种。对于有界型的区域，除了耦合强度，同步还需满足条件：，这样就可以用比值R表征网络同步能力，比值越大，不等式越容易满足，也就意味着网络的同步能力越强。

      对于无界型的区域，同步的条件是，于是可以用从拓扑结构的表征网络的同步能力，越大的拓扑结构相应地网络更容易实现同步。

      基于上述的主稳定方法，从网络拓扑结构研究网络同步能力已取得不少研究成果。随着研究的深入，部分学者将这个思路用于多层网络同步能力的研究，也有一些研究工作。具体地说，假定同步稳定域为有界或无界的情形下，从多层网络的拓扑结构，特别是层间的连接方式（度的相关性）、连接数量和连接强度，研究拉普拉斯矩阵的特征谱从而研究网络的同步能力。

       那么，现在的问题来了，对于单层网络主稳定函数方法研究的是网络的完全同步问题，而对于多层网络除了完全同步还有层内同步和层间同步问题。另外，更重要的是对于多层网络其同步域的类型是否还有有界和无界两种基本类型？同步条件： 和 是否依然适用？如果想利用这个同步条件，需要将多层网络的层内和层间的内联矩阵作无差别处理，即内联矩阵取成一样的。这样的话，多层网络就失去了“多层”的内涵。多层网络最重要特征之一在于层内和层间的内耦合方式不同，比如层内通过节点的第一通道相互作用，而层间通过节点的第二通道相互作用。那么，针对多层网络，能否将单层网络的主稳定函数直接推广到多层网络上呢？我们的工作就是针对多层网络的特点建立多层网络的主稳定函数方法。

二

考虑M 层每层N 个节点的多层网络的动力学模型

其中，H 和 分别为层内和层间的内联矩阵（耦合强度），方程（3）可改写为如下的向量形式

其中分别为层内和层间超拉普拉斯矩阵（supra-Laplacian）。在同步流形上作变分，得

对于无向的网络，且当这两个超拉普拉斯矩阵满足可交换，即时，可将方程（4）解耦得下列三个主稳定方程

   (6)

       (7)

        (8)

   由上面三个方程可确定下列三个同步稳定区域，即联合同步域，层内同步域和层间同步域

那么，这三个区域的公共交集区域（如下示意图三角形区域）确定了多层网络的完全同步区域，即给定层内网络拓扑结构后，若所有的非零特征模块都落入公共交集区域，那么多层网络可达到完全同步。给定层内结构后也可将三个同步稳定域转化为关于层内和层间耦合强度的区域，即，和。

三

为了验证上述结果，下面取Rossler混沌振子为节点动力学，两层结构相同的两层网络（此时，满足超拉普拉斯矩阵可交换的条件）。这里以层内结构为星型网络为例，层内与层间内联矩阵取四种组合，即，，和，其中为(i,j) 元为1其他元素全为0的矩阵。图1-4的左边是上述理论确定的三种同步稳定域，右边是网络实际同步域，其中红色的区域表示完全同步区域，黄色的区域表示层内同步（而层间不同步）区域，蓝色区域表示层间同步（而层内不同步）区域。

     Fig.1: Network synchronized regions (c) and synchronization area (d) for H=I₁₁ and T=I₁₁.

 Fig.2: Network synchronized regions (c) and synchronization area (d) for H=I₁₁ and T=I₁₃.

    Fig.3: Network synchronized regions (c) and synchronization area (d) for H=I₁₁ and T=I₂₂.

     Fig.4: Network synchronized regions (c) and synchronization area (d) for H=I₁₃ and T=I₂₂.

      可见，理论上的多层网络三种同步稳定域与的实际同步区域相吻合（Fig.1 和Fig.3），如果没有公共区域，那么多层网络就不可能发生完全同步行为，如Fig.2和Fig.4，这也验证了前面的理论结果，即确定了完全同步的区域。更有意思的是，从数值仿真上发现三种同步稳定区域也可给出层内同步和层间同步发生的必要区域，具体地说，层内同步（且层间不同步）在区域内发生，而层间同步（且层内不同步）在区域内发生。

四

当层内和层间的超拉普拉斯矩阵不可交换时，三个同步稳定域的公共部分是否还能确定网络完全同步的区域？例如，两层的层内结构不同或者层与层连边的权重不相同时，两个超拉普拉斯矩阵就不满足可交换这个条件（注意这个条件也仅是充分条件）。虽然在理论上，我们的框架不能保证完全同步发生在这三个同步稳定域的公共部分，但我们可以从数值仿真上看到，多层网络完全同步仍发生在三个同步稳定域的公共部分，仿真结果如图5和图6（这里仅给2幅图）。 这说明了可交换条件不满足时，三个同步稳定域仍然可区域完全同步行为，这样扩大理论框架的使用范围，目前这部分的理论分析仍是个开放的问题。

      对于层内结构不同的两层网络，由图5发现层内结构差异性影响了多层网络的层间同步，但对完全同步和层内同步基本没有影响；也就是说仍可以预测多层网络的完全同步，而可预测网络的层内同步。

     对于层内结构相同但层间连边不同的两层网络，由图6可知，层间连边权重的差异性影响了多层网络的层内同步，对完全同步和层间同步基本没有影响；也就是说，仍可以确定网络的完全同步，而可以确定网络的层内同步。

图5：层内结构不同且每层5个节点的两层网络的同步区域图，其中H=I₁₁和T=I₁₁. （a）三个同步稳定域确定同步区域；（b）其中一层添加1条边的两层网络的实际同步区域；（c）其中一层添加2条边的两层网络的实际同步区域；（d）其中一层添加3条边的两层网络的实际同步区域.

图6：层内结构均为全链接网络且每层5个节点的两层网络的同步域. 其中（a,b）H=I₁₁和T=I₁₁; (c,d）H=I₁₁和T=I₂₂. (a,c) 三个同步稳定域确定的同步区域;（b, d）两层网络由实际同步误差得到的区域.

五

总之，本文将主稳定方法推广到多层网络（multiplex networks）上，在层内和层间超拉普拉斯矩阵可交换条件下，得到3个主稳定方程，从而得到3个同步稳定域。由此，我们得到一个重要的结果，即3个同步稳定域的公共区域确定多层网络的完全同步的实际区域。同时，数值结果也提示，层内同步（不排除层间同步）的实际区域发生在联合同步稳定域和层内同步稳定域的公共部分，而层间同步（不排除层内同步）的实际区域发生在联合同步稳定域和层间同步稳定域的公共部分。

      当可交换条件不满足时，我们仍能利用3个同步稳定域的公共部分确定多层网络的完全同步的实际区域，说明可交换条件仅是一个充分条件。对于两层结构不同而层间连接权重相同的情形，结构差异性影响了层间同步；对于层内结构相同而层间权重不全同的情形，权重的差异性影响了层内同步。