网络间最优连接—让多层网络更容易同步或扩散

最近十多年来，复杂网络研究已经成为科学和工程的前沿领域，取得许多重要的成果。在实际复杂系统中，多种网络相互耦合相互作用，譬如包括不同运输工具（航空网、铁路网和公路网）的交通网络，包括物种的生态网络的交互网络和食物网，包括基因调控网络、代谢网络、蛋白质–蛋白质相互作用网络，等等。所以最近几年国际上提出“网络的网络 (Network of networks)”、 “多层网络（Multiplex network）”和“相互依存网络 （Multiplex Networks and Interdependent Networks）”模型，成为当今复杂网络领域最前沿的重要研究方向之一。

多层网络与一般单层网络的主要区别在于出现层与层之间的相互作用，而层间的相互作用是由层间连接完成的，不同的层间连接会造成多层网络整体动力学特性的不同结果。这几年这个问题一直吸引我们的兴趣，现在我们可以回答这个问题了。

网络结构是可以用网络的邻接矩阵或者Laplacian矩阵L来表示，在研究网络的同步（Synchronization）和扩散（diffusion）时，Laplacian矩阵的最小非零特征值λ2（最小特征值λ1=0）是一个最重要的指标，有时候最大特征值λn与λ2之比r=λn/λ2也是一个重要的指标，一个网络如果它的λ2比较大或者r比较小则网络的结构就容易同步，反之同步就困难；在研究网络传播中λ2比较大则网络容易传播。对于多层网络，整个多层网络的超Laplacian矩阵可分解成层内Laplacian和层间Laplacian两部分，多层网络整体的同步或扩散能力由超Laplacian矩阵的λ2和r决定。

两个星形网络之间的连接

下面我们先从两个星形网络之间的连接说起，2014年PRL一篇文章Synchronization of Interconnected Networks: The Role of Connector Nodes[1]回答了两个星形网络之间一条边连接的同步结果，考虑中心与中心HH，中心与叶子HL，叶子与叶子LL三种连接方式，图1,2中可以看出HH优于HL，HL优于LL，也就是一条边连接时度大节点连接是最优连接。文章还导出λ2的解析结果，图3是N=6利用解析解作图。

       图1                                  图2

      图3                                   图4

对于两个星形网络之间有2条边连接的情形，文献[2]导出了HH-LL，HL-LH，LL-LL三种情形的λ2和r的解析表达式，HH-LL，HL-LH，LL-LL同步能力是依次减小的（如图4）。从两层星形网络分析基本上可以说两层间连边稀少时度大的节点相互连接是有利于同步的。

对于两个星形网络之间每一个节点都一一对应连接有的N条边情形，文献[3]导出了λ2和r的解析表达式，经分析得到当层内耦合强度𝑎较小时，网络的同步能力只与𝑎有关；而当层间耦合强度𝑑较小时，网络的同步能力只与𝑑有关。说明层内耦合强度和层间耦合强度两者之间，弱者决定同步能力—木桶原理。

其它两个规则网络之间的连接[4]

两个全连接网络相互连接，造成整体不利于单层时信息的传播或者同步。并且发现对于两层全连接网络，层间耦合强度对同步能力的影响大于层内耦合强度，这个与两层星型类似。

两个环状网路相互连接，过大的层间耦合并不增加同步能力，如果层间只有一条边时，当层内和层间耦合强度非常小的时候，增大层间耦合强度有助于同步，当层内和层间耦合强度都比较大时，增加层内耦合强度更利于同步。

双层链状网络层间一条边连接时位于中间连接的同步能力最强 。

接下来，我们来看对于一般的两层网络，层间是度大节点与度大节点连接（度正相关）还是度大节点与度小节点连接（度负相关），或者随机连接更利于整体同步或扩散？

为了研究这个问题，我们先建立一种典型的两层网络, 以便理论分析。每层网络都由2N 个节点构成, 包括N 个叶子节点和N个节点组成的全连接网络，层内节点的度只有N和1两种，两层拓扑结构相同，层间2N条边一一相连。

图5（左边是正相关连接，右边是负相关连接）                    图6

我们严格推导得到层间正相关和负相关的特征值λ2解析表达式，证明在N足够大时，负相关是正相关的2倍（图6）。说明在层间有N条边相连情形负相关比正相关连接更利于同步，我们推测一般情形应在1-2倍。

对于一般的两层网络就没有这样的解析解了，我们主要靠数值仿真来分析[5]。对于最能够代表真实网络的两层ER-ER, WS-WS和 BA-BA网络，层间强度w和连接密度r对同步的影响（层间连边N条时r=1）见图7,8。可见在层间强度较小时提高层间强度能大大提高整个网络同步能力，但过大的层间强度是没有必要的。层间连接密度的增加也有利于同步。

图7（横坐标是层间强度）                       图8（横坐标是连接密度）

图9是ER-ER, WS-WS和 BA-BA三种两层网络，在层间N条边时按照正相关和负相关连接时，层间强度w对同步的影响，可见只有在层间强度w较小时提高层间强度才能大大提高同步能力，而且负相关连接比正相关连接更有利于同步。

图9（分别ER-ER, WS-WS和 BA-BA三种两层网络）

下面介绍层间节点度正负相关连接的一个有趣的发现[5]。我们知道，层间连接的边数增加总的来说是有利于同步的，我们问在层间连边数较少时究竟是正相关连接还是负相关连接更有利于同步，而在层间连边数较多时又是哪一种连接方式更有利于同步。图10表明在连边数较少时按照度大节点正相关连接有利于同步，而在连接密度较大时负相关有利于同步。因此在设计多层网络层间连接时，在间层连边较少时优先连接度大的节点，而层间连边较多时按度负相关连接，这样有利于两层网络的同步和扩散。

图10（分别ER-ER, WS-WS和 BA-BA三种两层网络）

两层网络上的超扩散现象

我们问从单层扩展到多层时网络扩散是容易了还是困难了？

我们知道，多层网络的扩散弛豫时间(relaxation time)τ=1/λ2 ，即最小非零特征值λ2越大, 弛豫时间τ越小，扩散速度越快。所以对于多层网络，如果它的λ2大于每个单层的λ2，则称多层网络出现超扩散现象(super-diffusion)[6]。考虑两层网络之间节点是一一对应连接，那么两层的平均Laplacian矩阵Ls=(L1+L2)/2是反映两层的平均结构，它的最小非零特征值λs2大于等于两个单层特征值的平均（λ12+λ22）/2，而且两层网络的扩散比两层中扩散较慢的一层来得快。当层间强度趋于无穷时, 两层网络的超Laplacian矩阵最小非零特征值随层间强度的变化分为两段，开始随层间强度以比例系数2线性增长，然后单调增加地趋近于λs2，如图11[6]，图12[7]。也可以这样理解，在层间强度足够大时两层网络融合为一层，这时它的同步能力（或者扩散速度）与两层的平均结构的同步能力（或者扩散速度）接近。

那么我们要问，什么样的多层网络在层间强度足够大时会出现超扩散现象呢？图11[6] 的两层网络出现了超扩散现象。但是超扩散并非一定出现，图13表示一层是N=10的环，另一层是N=10的全连接网络（λ2=10），这时候不出现超扩散（两层网络的λ2小于全连接网络的λ2）。因此我们说出现超扩散现象是有条件的，目前这个问题远没有研究清楚 。

图11（左：两层结构示意图。右：这一两层网络出现超扩散，横坐标为层间强度）

图12（BA-BA两层网络，m为BA模型的参数，横坐标为层间强度，N,R and P分别表示层间负相关、随机和正相关连接）

图13（左：环与全连接耦合的两层网络示意图。右：不出现超扩散，横坐标为层间强度）

上面我们讨论了多层网络的层间怎样连接更利于整体同步或扩散，这些结果都是这几年才发现的，有些问题还有待于进一步研究，相信这些发现在实际中一定能够得到应用。

[1] J. Aguirre, R. Sevilla-Escoboza, R. Gutiérrez, D. Papo, and J. M. Buldú, Synchronization of interconnected networks: The role of connector nodes, Phys. Rev. Lett., 112(24), 2014, 248701

[2]Yang Li, Xiaoqun Wu, Jun-an Lu and Jinhu Lü, Synchronizability of duplex networks, IEEE Transactions on Circuits and Systems—II,2016 ,63(2):206−210

[3]徐明明,陆君安,周进,两层星形网络的特征值谱及同步能力,物理学报Acta Phys. Sin. 2016,65(2):028902

[4]Juan Wei, Xiaoqun Wu, Jun-An Lu and Xiang Wei ，Synchronizability of duplex regular

networks ，EPL，2017,120：20005

[5]Xiang Wei, Jeffrey Emenheiser, Xiaoqun Wu,Jun-an Lu and Raissa M. D’Souza, Maximizing Synchronizability of Duplex Networks, Chaos，2018，28：013110

[6]G′ omez S., D′ ıaz-Guilera A., G′ omez-Garde˜ nes J.,P′ erez-Vicente C. J., Moreno Y. and Arenas A., Diffusion Dynamics on Multiplex Networks, Phys. Rev. Lett., 110, 2013, 028701

[7]Mingming Xu, Jin Zhou, Jun-an Lu and Xiaoqun Wu, Synchronizability of two-layer networks,Eur. Phys. J. B ,  2015, 88: 240