最大发生概率原理才是“新皇帝”

美国归侨冯向军博士，2017年7月18日写于美丽家乡

【摘要】“新皇帝”一词，是学术知音张学文先生在他的《组成论》【1】中提出来的。本文借用先生的“新皇帝”一词来描述《关于决定性事件的概率论》所首创的最大发生概率原理【2】的真实地位：由关于其他一切信息测度的极值原理配合种种符合实际的或者人为假设的约束条件所推导出来的一切分布均可由《关于决定性事件的概率论》所首创的最大发生概率原理配合最真实的统一约束条件统一推导出来。

定理：假设f(x1)，f(x2)，...，f(xn)为关于变量值x1，x2，...，xn的任何给定的概率分布，那么在最真实的统一约束条件 （说约束条件最真实是因为 由分布pi = f(xi), pi/f(xi) = 1，可自然推出下述统一约束条件 )：

p1/f(x1) + p2/f(x2) + ...+ pn/f(xn) = 常数    (1-1)

下，由《关于决定性事件的概率论》所首创的最大发生概率原理，均可推导出概率分布：

pi = f(xi), i = 1，2，...，n。

请注意：我们对（1-1）式所表达的最真实的统一约束条件用了“常数”这个词。

证明：对于非自然约束条件： p1/f(x1) + p2/f(x2) +...+ pn/f(xn) = 常数C3(这其中x1，x2，...，xn是与广义系统概率分布p1，p2，...，pn相对应的n个离散变量值），命由目标函数发生概率的对数log(P)，自然约束条件和上述非自然约束条件所决定的拉格朗日算子为L。有：

L = log(p1) + log(p2)+...+log(pn) + C1(p1 + p2 +...+ pn - 1)

+  C2(（p1/f(x1) + p2/f(x2) +...+ pn/f(xn) - C3)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi = 1 /pi + C1 + C2/f(xi) = 0，i = 1，2，...，n。

pi = -1/(C1 + C2/f(xi))，i = 1，2，...，n。        

当C1 = 0, C2 = -1，有：

pi = f(xi)，i = 1，2，...，n。        

但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵，因此令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述分布pi = f(xi)也必定是令拉格朗日算子L或约束条件下的目标函数发生概率的对数log(P)取得最大值或极大值的概率分布。这也就是说令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述分布pi = f(xi)也必定是令约束条件下的发生概率P取得最大值或极大值的概率分布，这种分布pi = f(xi)符合最大发生概率原理。

证毕。

定理2：一切具体物理条件对于由最大发生概率原理配合最真实的统一约束条件来求分布函数的结果均无影响。

证明：对于非自然约束条件： p1/f(x1) + p2/f(x2) +...+ pn/f(xn) = 常数C3(这其中x1，x2，...，xn是与广义系统概率分布p1，p2，...，pn相对应的n个离散变量值）和由具体物理过程所决定的物理约束条件：p1fp(x1) + p2fp(x2) +...+ pnfp(xn) = 常量C5，命由目标函数发生概率的对数log(P)，自然约束条件和上述两种非自然约束条件所决定的拉格朗日算子为L。有：

L = log(p1) + log(p2)+...+log(pn) + C1(p1 + p2 +...+ pn - 1)

+  C2(（p1/f(x1) + p2/f(x2) +...+ pn/f(xn) - C3)

+  C4(（p1fp(x1) + p2fp(x2) +...+ pnfp(xn) - C5)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi = 1 /pi + C1 + C2/f(xi) + C4fp(xi) = 0，i = 1，2，...，n。

pi = -1/(C1 + C2/f(xi) + C4fp(xi))，i = 1，2，...，n。  

因为 pi = f(xi)，i = 1，2，...，n。

所以必有C1 = 0，C2 = -1 而 C4 = 0。这也就是说：一切具体物理条件对最大发生概率原理配合最真实的统一约束条件来求分布函数的结果均无影响。      

但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵，因此令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述分布pi = f(xi)也必定是令拉格朗日算子L或约束条件下的目标函数发生概率的对数log(P)取得最大值或极大值的概率分布。这也就是说令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述分布pi = f(xi)也必定是令约束条件下的发生概率P取得最大值或极大值的概率分布，这种分布pi = f(xi)符合最大发生概率原理。

证毕。

参考文献

【1】张学文，《组成论》。

【2】冯向军，发生概率能表达无中生有，科学网，2016年7月14日。http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1066322.html