对积分公式的数值计算，需要将积分变成对均匀网格的求和计算。对于有奇点的位置，一般需要用“自适应网格”算法来进行特殊处理。但是这种自适应网格方法不仅编程复杂而且会增加计算量。基于Wannier90的第一性原理计算可以用“自适应展宽”的方法来处理这些特殊的奇点，比自适应网格方法更快速。我在研究过程中也经常使用这种方法。下面对这一算法进行总结和介绍，主要参考文献[Phys. Rev. B 75, 195121 (2007)]。

在固体电子结构的计算中，需要对倒空间的物理量进行积分，才能得到可观测的物理量。一般有三种物性的计算：对费米海以下物理量进行积分（type-I）、费米面上的物理量进行积分（type-II）和能量差的等值面上的积分（type-III）。在T=0K时，这些积分的一般形式为：

${{I}^{(\text{I})}}=\sum\limits_{n}{\int_{\text{BZ}}{\frac{d\mathbf{k}}{{{(2\pi )}^{3}}}}}{{F}_{nn}}(\mathbf{k})\theta \left( {{\mathcal{E}}_{n\mathbf{k}}}-{{E}_{f}} \right)$         (1)  

${{I}^{(\text{II})}}=\sum\limits_{n}{\int_{\text{BZ}}{\frac{d\mathbf{k}}{{{(2\pi )}^{3}}}}}{{F}_{nn}}(\mathbf{k})\delta \left( {{\mathcal{E}}_{n\mathbf{k}}}-{{E}_{f}} \right)$          (2)

${{I}^{(\text{III})}}(\omega )=\sum\limits_{n}^{\text{occ}}{\sum\limits_{m}^{\text{empty}}{\int_{\text{BZ}}{\frac{d\mathbf{k}}{{{(2\pi )}^{3}}}}}}{{F}_{nm}}(\mathbf{k})\delta \left[ h\omega -\left( {{\mathcal{E}}_{m\mathbf{k}}}-{{\mathcal{E}}_{n\mathbf{k}}} \right) \right]$        (3)                     

其中$E_{f}$是费米能级，$\mathcal{E}_{n \mathbf{k}}$是单电子态的本征值，$F_{n m}(\mathbf{k})$为要计算的物理量在每一个k点的值。基态特性(如总能量)和直流响应函数(如电导、霍尔电导率)分别是第一类(type-I)和第二类(type-II)的例子。线性响应（例如光吸收）和谱函数为第三种(type-III)类型。

       在实际计算中，上面的连续积分被取代为布里渊区内N个k点的求和：

            $\frac{V_{\text {cell }}}{(2 \pi)^{3}} \int_{\mathrm{BZ}} d \mathbf{k} \rightarrow \frac{1}{N} \sum_{\mathbf{k}} w(\mathbf{k})$       (4)      

其中，V_cell为原胞体积，$w(\mathbf{k})$为不可约布里渊区k点权重。为了加速收敛，可以使用展宽方法，这相当于用类似费米-狄拉克的展宽函数替换公式(1)中的阶跃函数，公式(2)和(3)中的$\delta$函数将取代为非零展宽的归一化函数，如高斯函数。例如，在公式(2)中的$\delta \left( {{\mathcal{E}}_{n\mathbf{k}}}-{{E}_{f}} \right)$被取代为：

   $g_{n \mathbf{k}}\left(E_{f}\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} W} \exp \left(\frac{-\left(E_{f}-\mathcal{E}_{n \mathbf{k}}\right)^{2}}{2 W^{2}}\right)$         (5)   

对于一个给定网格间距$\Delta k$，理想的高斯展宽W应该与网格间的能量差$\Delta {{\mathcal{E}}_{n\mathbf{k}}}$可比拟。然而$\Delta {{\mathcal{E}}_{n\mathbf{k}}}$在传统的第一性原理计算中却难以被估计。常见的做法是将所有能带和k点的展宽W设为一个常数。但是，这种方法并没有区别陡峭和平坦能带的费米面对计算结果的影响。

在Wannier插值法中，能带的导数很容易得到，因此可以用来估计网格间的能量间距$\Delta {{\mathcal{E}}_{n\mathbf{k}}}$，很容易弥补固定展宽带来的缺陷。因此，在基于Wannier的计算中可以使用k点依赖的展宽$W_{n \mathbf{k}}$方法（即自适应展宽方法）。

对于type-I和type-II型积分，展宽系数$W_{n \mathbf{k}}$的表达式为：

                 $W_{n \mathbf{k}}=a\left|\frac{\partial \mathcal{E}_{n \mathbf{k}}}{\partial \mathbf{k}}\right| \Delta k$                (6)

其中，a是一个无量纲的常数。对于type-III型积分：

            $W_{n m, \mathbf{k}}=a\left|\frac{\partial \mathcal{E}_{m \mathbf{k}}}{\partial \mathbf{k}}-\frac{\partial \mathcal{E}_{n \mathbf{k}}}{\partial \mathbf{k}}\right| \Delta k$          (7)   

在自适应展宽的方法中，展宽参数W不再是一个与k点无关的可调参数。从公式(6)和(7)可以看出，自适应展宽参数W在能带平坦的k点展宽大，而在能带陡峭的地方展宽小。这种方法保证了网格大小$\Delta k$→0情况下，自洽的得到W→0。

例 子：如下图所示，使用自适应展宽和传统的固定展宽方法的计算的金刚石的态密度。当使用W=0.4 eV的固定展宽时，可以获得相当准确的态密度，但是在范-霍夫奇点附近，并没有给出尖锐的态密度特征。如果减小展宽大小，例如W=0.2 eV，能量间距大于W时就会引入振荡，这限制了固定展宽方法的精度。自适应展宽方法克服了这一缺点，该方法成功地描述了范-霍夫奇点特征，且没有在其他地方引入杂散振荡。自适应展宽公式中a取1.0，但计算结果对0.8<a<1.3是相当鲁棒的。

图  金刚石的态密度。红线为固定展宽的结果（W=0.4eV），黑线为自适应展宽的结果。插图为用自适应展宽在全价带窗口范围内计算的态密度。