群的概念引发于多项式方程的研究，由法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦在19世纪30年代开创。16世纪发现三次、四次代数方程的根都可以表示为方程系数（通常为有理数）的加、减、乘、除以及开方来表示，这样表示的根称为方程的根式解。有没有五次、六次或更高次方程的一般解法呢？历史上，第一个明确宣布“不可能用根式解四次以上的方程”的数学家是拉格朗日。拉格朗日在1770年发表《关于代数方程解的思考》一文中，指出五次及五次以上的方程不可能有像三、四次方程那样的一般解。接着1799年意大利数学家鲁菲尼也得出这样一个结论，但他证明既不完整，又不充分、严谨，于是他的结论也只能被人们认定为假说。19世纪初，阿贝尔还在读中学时，就被五次方程求根公式吸引了，全力以赴投入研究这个问题。经过多年的苦心钻研，阿贝尔终于解决了一元五次方程解的难题，以严谨的公式证明了鲁菲尼假说。阿贝尔一方面证明了有的方程不能用根式解，另一方面也可以举例证明，有的方程能用根式解。于是，能用根式解或者不能用根式解的方程，到底用什么来判断呢？阿贝尔还没有来得及解决这一问题，就病死了。科学的接力棒总是要继续往下传的。阿贝尔留给后人的问题谁来解决呢？解决这一问题的是法国的年轻数学家伽罗瓦，他在1829-1831年间完成的几篇论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件。在这个问题论述中，伽罗瓦实际上建立了“群”的理论，当然伽罗瓦用到的只是一种特殊的群，即置换群。

图 0. 1  阿贝尔^[①]和伽罗瓦^[②]的画像

在得到来自数学其他领域如数论和几何学的贡献之后，群的概念在1870年左右形成并牢固建立。现代群论是非常活跃的数学学科。为了探索群，数学家发明了各种概念来把群分解成更小的、更好理解的部分，比如置换群、子群、商群和单群等。随着代数的发展，群论在十九世纪末成为了近代代数的一个分支。

在数学家建立了群论的概念体系之后，物理学家在群论方面做了下面三个代表性的工作^[③]：

1、几何晶体学的发展

19世纪末、20世纪初，Auguste Bravais（布拉维，1811～1863，法国人）、Arthur Moritz Schöneflies（熊夫利，1853-1928， 德国犹太人）、Carl Hermann（赫尔曼，1898-1961，德国人）、Charles Victor Mauguin（毛古因，1878-1958，法国人）等对晶体学的研究，推动了晶体点阵、点群、空间群这些概念的诞生以及它们在晶体学中的应用。

2、对称性与守恒量之间的关系

图 0. 2  经典物理体系中的对称性与守恒量的关系

代表人物是诺特，她是一个典型的数学物理学家。诺特定理的基本内容是“any differentiable symmetry of the action of a physical system has a corresponding conservation law”，也可以说是任何一个保持拉格朗日量不变的微分算符，都对应一个守恒的物理量，如图 0. 2。表 0. 1列出了常见的对称性导致的守恒量。

对称性被破坏后，体系会发生相变。郎道对称性破缺理论告诉我们相变往往伴随着对称性的破缺，即不同的相往往可以用不同的对称性来描述^[④]。化学的主要问题是找到新的材料，在凝聚态物理中是最重要和最基本的问题之一是寻找新的相，并找到相变之间的关系(表 0. 2)，粒子物理的主要研究问题则是寻找新的粒子（群论在寻找新粒子也有着重要作用）。

表 0. 1  物理学中的对称性^[⑤]

表 0. 2  常见的对称破缺的凝态物质系统

 3、对称性在量子力学中的应用

这个方面的代表人物是维格纳。他也因为这方面的研究获得了1963年的诺贝尔物理奖，他获奖原因是“for his contributions to the theory of the atomic nucleus and the elementary particles, particularly through the discovery and application of fundamental symmetry principles”。杨振宁曾经说过：“量子化、对称性和相位因子是20世纪理论物理学的主旋律”。例如在固体中，量子化将导致能带形成，而对称性可以将能带用群的不可约表示来表征，而相位将引起能带的拓扑性质，近年来研究的拓扑材料就与能带的相位有关。

在物理学研究的各个层次上，群论已经是一种常用的数学工具，它已被用来揭示物理体系的对称性所蕴含的深层物理含义。经过几十年的积累，群论的一些术语和符号现在已经成为物理工作者的通用语言。群论是物理学专业学生攻读硕士学位必须学习的课程，也是他们从事具体科学研究之前所具备的专业知识之一。本课程主要讲授：（1）群的基本概念和群表示理论（2）点群和空间群（3）群论与量子力学（4）电子能带对称性以及光光谱的选择定则等。希望本课程能让学生理解群论在凝聚态物理、材料学、光学等学科中的应用，能与今后从事的研究工作建立起联系，并为以后的科研打下基础。

关于群论学习，希尔伯特有个著名的评价：要理解它你最好手头找个实际的例子^[⑥]。《群论及其在物理学中的应用》是一门实践科学。因此我的学习建议是多使用，多推导。群论的学习并是不一蹴而就的，需要按照一定的顺序学习，如图 0. 3所示。因此，本书前两章不去介绍群的一些概念，而是从对称性的角度去介绍晶体中的点群和空间群。有了这些形象的群后，再对群进行抽象化。另外，群论学习的另一个特点是需要我们边用边学，这也是研究生和科研工作者学习其他理论知识的重要的方法^[⑦]。

图 0. 3  建议的学习顺序和书籍

推荐书籍：

1.      《群论及其在固体物理中的应用》 咯兴林 高等教育出版社

2.      《群论及其在物理学中的应用》 谢希德 等 科学出版社

3.      《物理学中的群论》 陶瑞宝 高等教育出版社

4.      《Chemical applications of group theory》 Albert Cotton

5.      《晶体结构的对称群》 俞文海 中国科学技术大学出版社    

6.      《晶体学基础-卷I（对称性和结构晶体学方法）》 [俄]伐因斯坦等著，吴自勤等译 中国科学技术大学出版社     

7.      《国际晶体学表（卷A）-空间群对称性》 THEO  HAHN et. al Springer

8.      《Group Theory: Applications to the Physics of Condensed Matter》 M. S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, A. Jorio, Springer

9.      《物理学中的群论》 马中骐 科学出版社

10.   《群论与固体能带结构》 胡德宝 吉林大学出版社  

11.   《晶格振动光谱学》 张光寅等 高等教育出版社

12.   《晶体物理学基础》陈纲，廖理几，郝伟 科学出版社

这些群论专著各有侧重点，在不同的侧重点上表现出不同的特色。本书在这些专的基础上，尽量用我自己对它们理解的语言把群的理论表述清楚。另外，推荐几个非常有用的群论分析网站：

Bilbao Crystallographic Server：http://www.cryst.ehu.es/

230个空间群的对称性操作：http://img.chem.ucl.ac.uk/sgp/mainmenu.htm

化学中常用点群的特征标表：http://gernot-katzers-spice-pages.com/character_tables/index.html

判断晶体对称性网站FINDSYM：http://stokes.byu.edu/iso/findsym.php

晶格振动分析网址：http://www.cryst.ehu.es/rep/sam.html

网络学习视频：

1、《化学应用群论》 网页链接

2、上海群论暑期学校蔻享视频 网页链接

此讲义源自于我自己的群论笔记，是摘抄和自己理解的产物，因此这个讲义涉及的物理深度可能不及以上的参考书的深。但这个讲义更注重群论在物理学中的实际应用，例如讲义会介绍如何使用工具书和网站，如何建晶体结构，如何直观地理解特征标表，我也选择了很多和平时研究接近的例子。用尽量简单的语言把群论的知识讲解清楚，这是编写这份讲义的初衷，但限于我的水平和能力，加之编写讲义过于仓促，书中难免会有些不妥甚至错误之处，还请各位同学老师不吝指出，以便改正。

[①]尼尔斯·亨利克·阿贝尔（1802年-1829年），挪威数学家，在很多数学领域做出了开创性的工作，但生前没有得到认可。他的生活非常贫困，去世时只有27岁。

[②] 伽罗瓦(1811-1832)，法国数学家，群论的创立。在世时在数学上研究成果的重要意义没被人们所认识，曾呈送科学院3篇学术论文，均被退回或遗失。后转向政治，支持共和党，曾两次被捕。21岁时死于一场决斗。

[③] 本部分参考《群论及其在物理学中应用导论（李征新）》

[④] 当然郎道的对称性破却不能解释全部物理现象。1980年发现了量子霍尔效应，此时霍尔电阻与磁场不再呈现线性关系，而出现量子化平台，并且对任何的微扰都很鲁棒，不同的平台态之间并没有任何的对称性的破缺，就不能用郎道理论来解释。这与材料的拓扑性质有关，因此产生了一个新的物理，这即可用现在的拓扑物理来解释，因此其发现者von Klitzing也在1985年获得诺贝尔奖。

[⑤] 摘自《凝聚态物理学（冯端，金国钧）》

[⑥] 此句话来自网络，其真实性有待考究，但学习群论的经验的确是这样的。

[⑦]这里推荐一篇诺贝尔奖得主2004年Frank Wilczek的一篇关于研究生学习的文章《The Power of Learn by Doing》