万缕千丝终不改，任他随聚随分。韶华休笑本无根：好风凭借力，送我上青云。

很多计算问题都可以归结为求某个方程的根，也就是满足方程$f(x)=0$的$x$值。

最基本的方程是单变量的方程。线性方程和二次方程都很简单，三次方程和四次方程也有公式可用（虽然谁也不用），除此而外，就没有那么容易了。比如说，非线性方程$x=\tan x$有很多解，除了最简单的$x=0$以外，其他解都不是很显然的。

简单谈谈非线性方程的几种求根方法。

首先，需要判断$f(x)=0$是否有根，但是并没有一般性的方法。代数基本定理告诉我们，$x$的$n$次多项式必然有$n$个复数解，然而，这些解并不一定是实数解（物理学通常关心的都是实数），只有实系数的奇数次多项式可以保证有一个实数解。对于一般性的非线性方程，更没有什么可说的了——只能是看运气，当然要认真地观察和思考，还有试探。

对于连续的实函数，如果存在$x_1$和$x_2$使得$f(x)$的数值具有不同的符号，即$f(x_1)f(x_2)<0$，就肯定存在一个解$x_1<x<x_2$，使得，$f(x)=0$。在区间$((k-\frac{1}{2})\pi,(k+\frac{1}{2})\pi)$（其中，$k$是整数）考察方程$x=\tan x$，因为，$\tan x$在$x\rightarrow (k+\frac{1}{2})\pi$时趋于正无穷大，在$x\rightarrow (k-\frac{1}{2})\pi$时趋于负无穷大，所以，$f(x)=\tan x -x$肯定有解。

然后，猜一个解出来。令$x=(k+\frac{1}{2})\pi-\delta$，带入方程$x=\tan x$，可以得到

$(k+\frac{1}{2})\pi-\delta=\cos \delta/\sin \delta\approx \frac{1-\delta ^2/3}{\delta}$

这就是一个简单的一元二次方程，使用求根公式，再泰勒展开，就可以得到约等于0的解是

 $\delta\approx \frac{1}{(k+\frac{1}{2})\pi}+\frac{2}{27(k+\frac{1}{2})^3\pi ^3}$

所以，近似解就是

$x_0=(k+\frac{1}{2})\pi-\delta \approx (k+\frac{1}{2})\pi - \frac{1}{(k+\frac{1}{2})\pi}-\frac{2}{27(k+\frac{1}{2})^3\pi ^3}$

 然后，有好几种方法可以给出更精确的根。

二分法。在$x_0$附近，找出两个值$x_1$和$x_2$，使得$f(x)=\tan x -x$在这两点的值具有不同的符号，即$f(x_1)f(x_2)<0$。取$x_1$和$x_2$的中点$x_3=(x_1+x_2)/2$，计算那里的函数值$f(x_3)$，它必然与$f(x_1)$和$f(x_2)$的一个具有相反的符号（除非你走了大运，碰上了$f(x_3)=0$），就算是$x_1$好了。那么，你就可以用$x_1$和$x_3$重复这个两分过程，直到给出一个你满意的解为止。

迭代法。把方程$f(x)=0$写成$x=g(x)$的形式，把$x$的一个猜测值$x_i$带入右边，就可以得到一个新的猜测值$x_{i+1}$。我们把$x_0=(k+\frac{1}{2})\pi-\frac{1}{(k+\frac{1}{2})\pi}$带入。为了娱乐起见，我们只采用了一级近似值，并选择$k=10$。经过一些变换，可以得到迭代方程为

$x=10.5\pi - \frac{1}{\tan x}$

初始值是$x_0=1/10.5\pi \approx 0.0303$。不幸的是，用不了几次就会发现，迭代的结果变来变去，根本就不收敛。这是因为迭代方程右边的函数的导数太大了。这种现象其实很常见，必须选择适当的迭代函数（这需要技巧，或者说熟能生巧）。令$x=\arctan y$，则迭代方程变为

$ y = \frac{1}{10.5\pi-\arctan y}$

初始值是$y_0 =\tan x_0 \approx 0.0303$。迭代几次就可以得到$y= 0.030343131$，所以，$x=10.5\pi - 0.03033823$。

牛顿法。对于$f(x)=0$，在近似解$x_i$附近，有泰勒展开

$f(x)=f(x_i)+f'(x_i)(x-x_i)+\frac{1}{2}f"(\zeta)(x-x_i)^2$

所以，原方程$f(x)=0$就可以近似为线性方程

$f(x_i)+f'(x_i)(x-x_i)=0$

这就得到了迭代公式

$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$

对于我们感兴趣的方程$f(x)=10.5\pi - \frac{1}{\tan x}-x=0$，初始值是$x_0=0.0303$，导数是$f'(x)=1/\sin ^2 x -1$。迭代两三次就可以得到，$x=0.030333823$。这个结果与上面的迭代法相同。带回原方程$x=\tan x$，可以发现，两端的差别差别大约是$5\times 10^{-8}$，而两端的数值大约是33，也就是说，相对误差是$10^{-9}$。

弦割法。牛顿法需要计算导数，有些麻烦，可以用差分来替代导数，这就是弦割法。先在近似解附近找到函数曲线上的两个点$(x_1,f(x_1))$和$(x_2,f(x_2))$，把这两个点连接起来，得到一条直线，该直线与$x$轴的交点就是$x_3$。然后用$(x_2,f(x_2))$和$(x_3,f(x_3))$找到$x_4$，如此继续下去。具体计算从略。

在这些算法的基础上，还有很多改进的算法，就不介绍了。

需要指出的是，只有二分法能够保证找到根，其他几种方法只有在距离根足够近的地方才行。但是二分法的效率非常低，三次迭代才能提高一位的精度（$2^3=8\approx 10$）。牛顿法的精度最高，但是其收敛性强烈地依赖于初值。

其实，这些算法的误差分析才是计算方法的主要内容，我们这里介绍的仅仅是算法的具体步骤而已。