山下山下, 风展红旗如画。

静力学主要是中学物理的内容，大学普通物理里也会讲一些，无外乎就是合力为零与合力矩为零这两个基本条件。简单讲一讲吧。

质点的平衡问题最简单。在平衡状态附近，力总是可以表示为某个势场的梯度——不需要考虑耗散力，因为速度很小，而且耗散力只是让物体最终停留在平衡位置处。因此，根据势能曲线的形状，就可以确定平衡状态。平衡点只可能是势能的导数为零的极值点，在根据二阶导数的符号，就可以确定它是稳定平衡（二阶导数大于零，极小值）、不稳定平衡（二阶导数小于零，极大值）。当然你也可能运气足够好，碰到拐点（三阶导数不为零）或者随遇平衡的情况（各阶导数都等于零，比如说水平面）。如果考虑二维乃至更高维度的情况，还有可能碰上鞍点（沿某个方向是极大值，沿另一个方向是极小值）。

非质点的情况稍微复杂一些。举几个例子吧。

杠杆是最简单的情况。支点两侧的力矩大小相等、方向相反，就可以达到平衡。天平是最常见的情况，调节天平上的游码，就是调节某侧力矩的大小。

双金属片。两种不同属性的材料铆合在一起，当然也会达到受力平衡的状态，但是，当外界条件改变的时候，平衡的状态也会改变。比如说，如果这两种材料的热膨胀系数不一样，当温度升高的时候，一个材料膨胀得厉害一些，双金属片就会向膨胀率低的一侧弯曲。日光灯管里的启辉器利用的就是这个道理。

山峰的高度。山不可能太高，因为太高的山对基底岩石的压力很大，足以改变其物性（从固体变为液体）。从这个角度出发，可以估计山的高度，也可以讨论行星的定义——太小的星体有可能群峰耸立，就不够圆，算不得球体。以地球表面山峰高度的估计为例：若山体密度为$\rho$、高度为$h$，重力加速度为$g$，则基座岩石受到的压强大致为$\rho gh$。假设岩石参数为面积$S$、厚度$\delta$和比热$c$，山体下降$\delta$做的功就是$\rho gh S\delta$，如果这个功全部转化为岩石的热，温度升高就是$\rho gh/c$，如果这个温度大于岩石熔化的问题，它就可以从固体变为液体而溜走，由此带入具体数据，可以得到山峰的高度大约是15公里——与珠穆朗玛峰是一个量级的，而且确实比它还要高一些。（具体细节可以参看赵凯华《定性和半定量物理学》）

外界条件的变化，可以使得稳定平衡变为不稳定平衡，反之亦然。还是举几个简单的例子。固体、液体和气体，各自来一个吧。

瑞利-伯纳德对流。均匀地从底部加热一杯水，杯底的水温度升高、密度减小，上层水的温度和密度不变（考虑到热传导，则上层水的温度也会略微升高，密度略有下降），这杯水就会头重脚轻、发生对流，在适当的条件下（依赖于液体的种类、密度、比热、热传导系数和粘滞系数等因素），可以观察到蜂窝状的对流图案，这就是瑞利-伯纳德对流。如果从顶部加热液体，液体的密度分布永远是上轻下重，就不会出现对流现象，热量完全靠热传导向下传送，效率是很低的。

伯努利效应导致的液流弯曲。在定常的理想流体里，流速大的地方压强小，这就是伯努利效应。不要站在铁轨旁边，否则高速列车通过的时候，列车附近的空气流动速度大，远离列车处的空气静止，伯努利效应导致的压力差有可能把你推向列车、造成事故，原因就在于此。旗帜在风中飘扬，经常会朝着某一侧鼓起来，过一会又朝着另一侧鼓起来，尽管旗帜的两侧应该是对称的，但是微小的偏离会迅速放大，因为凹进去的一侧风速会降低一些，而凸起的一侧风速会加快一些，伯努利效应使得旗帜进一步凸起——这是个正反馈过程。如果把旗帜换成高速喷射的液流，效果也是一样的（这跟ZYC的研究兴趣有些关系），差别在于旗帜是固体材料、不容易拉断，而液流是液体构成，聚在一起靠的是表面张力和粘滞力，很容易被吹断的（有一些理论文章详细地讨论这件事，里面充斥着公式，但是物理就这么点内容。比如说，V. M. Entov & A. L. Yarin, The dynamics of thin liquid jets in air, J. Fluid Mech. (1984), vol. 140, pp91-111）。其实，波浪的产生也与此有关，感兴趣的可以参看武际可：无风不起浪——谈谈波浪是如何由风引起的 。

上面两个例子需要的物理很简单，但是涉及的数学内容有些多，大一的新生暂时还没有接触到。下面这个例子来自于弹性力学，在原则上要用张量和偏微分方程，但是也可以试着用大学普通物理的力学来比划比划。

杆子的弯曲。一根细长的杆子，从两头沿着杆子的方向施压，当压力超过一定阈值以后，笔直的杆子（橙色直线）会突然变弯（蓝色圆弧），如图所示（弯曲的程度夸张了）。这是弹性不稳定性的一个实例。更常见的例子是，把一张名片卡在你的拇指和四指之间，用力一压，名片就会弯曲。

假设杆子杨氏模量为$E$，长度为$L$，半径为$a$，两端施加的压力为$F$，弯曲以后的形状是半径为$R$的一部分圆弧。杆子被压弯以后，内侧应该是被压缩的，压缩程度为$a/R$；外侧是拉伸的，拉伸程度为$a/R$。仅考虑上半部分，内侧有个向上的力$F_1\propto E a^2\cdot \frac{a}{R}$（其中，$Ea^2$类似于弹簧的倔强系数），它相对于杆子的中心产生的力矩就是$M_1\propto E \frac{a^4}{R}$（多出来的一个$a$对应于力臂），同样，外侧向下的力产生的力矩是$M_2\propto E \frac{a^4}{R}$，这两个力矩的方向是相同的（因为O位于它们两者之间），与压力$T$产生的力矩$M_T\propto T(R-\sqrt{R^2-L^2/4})\propto T\frac{L^2}{R}$的方向相反。如果$M_1+M_2>M_T$，杆子就会由弯曲的状态转向笔直的状态，所以，变弯的临界压力就是

$T_c =\alpha \frac{Ea^4}{L^2}$

巧妙的是，杆子的弯曲半径$R$消失了！

系数$\alpha$依赖于杆子的具体形状以及两端施加压力的具体方式，铰支、固支、自由端之类的，听起来就很烦不是吗？用数学语言来说，这些其实就是相应偏微分方程的不同边界条件。烦归烦，但是肯定可以算出来的。细节我就不讲了，感兴趣的可以参看朗道《弹性力学》的第二章。