写在前面的话：

对称陀螺的定点转动是个有趣的力学问题，对于理解角动量-力矩关系和刚体转动问题都很有帮助。中学物理也能够理解，但是也有可能犯错——我在昨天写的初稿里就犯了错误。感谢tianying老师和sijing20120老师指出了我的错误。

姬扬

2016.11.10

天旋地转回龙驭，到此踌躇不能去

我认为，大学普通物理的力学只有三个半问题，它们包含了所有必要的物理内容。把这三个问题搞懂了，力学也就学明白了。

第一个问题，行星轨道问题，当然也包括了卢瑟福散射问题。

第二个问题，受迫振动问题，当然也就包括了参数共振问题。

第三个问题，对称陀螺的定点转动问题。

最后半个问题，火箭发射问题。

这些问题碰巧也能用中学物理来定性半定量地理解，但是，高等数学才能真正显示威力。从这些问题里，我们可以知道中学物理的能力和局限性，可以了解大学普通物理的重要性。

现在就来谈谈陀螺问题：对称陀螺的定点转动。高速转动的轴对称重陀螺，放在桌面上。如果陀螺的轴与桌面垂直，与重力方向一致，它当然可以保持这种状态不变；如果你推它一下，陀螺会发生倾斜，但是不会倒下，而是继续自转，同时绕着垂线方向转动（这就是所谓的进动）。如果自转方向是顺时针方向，那么进动方向也是顺时针方向；反之亦然。

显然，这种情况与静止陀螺不一样。静止的陀螺也可以垂直地放在桌面上，但是那个位置是不稳定的平衡点，任何风吹草动都会让它倒下来。

我们分三种情况来讨论：初始状态，对称轴垂直于桌面；收尾状态，对称轴与垂线保持固定夹角，陀螺既有自转又有进动；这两者之间的过度状态，即陀螺倾倒的过程。

初始状态很简单，陀螺绕着对称轴转动，对称轴垂直于桌面，与重力方向一致，桌面的支持力向上，正好与重力平衡。摩擦力使得陀螺的转动逐渐变慢。

收尾状态就复杂一些。中学生不懂刚体，只会用质点，所以先考虑一个简化模型：对称陀螺由两个质点A和B构成，这两个质点位于无质量的坚固十字架的横枝两端，十字架的竖枝是转动轴。陀螺的自转角速度为$\omega$，顺时针方向，进动角速度为$\Omega$，也是顺时针方向。质点A转到最上方的时候，运动方向向前，质点B在最下方，运动方向向后。在陀螺自己看来，这两个速度大小是相等的；但是在桌面上看，因为陀螺整体在进动，所以A的速度就小于B，这两个质点的离心力就不一样（A小于B），但是都垂直于进动轴（经过接触点的垂线方向）向外。【注意：陀螺自转的向心力是内力，不会改变角动量】。在条件合适的时候，这个离心力的合力与陀螺的重力、桌面的支持力保持平衡，总的合力为零。如果把陀螺当成一个杠杆，支点为陀螺与桌面的接触点，那么两个离心力的合力矩也正好与重力的力矩相等。这就是收尾状态保持不变的原因。

再讨论过渡状态。在陀螺倾倒的过程中，陀螺有个整体向下的转动。考虑两个质点A和B都在水平方向的情况。在陀螺看来，A运动的方向向下，B向上，二者的大小相等，方向相反。由于陀螺整体在向下转动，所以，在桌面上看，A的运动速度大于B，二者离心力的合力不为零（与接触点的摩擦力抵消），合力矩也不为零，使得陀螺也沿着顺时针方向运动。

对称陀螺绕着对称轴旋转对称，陀螺的每一个点都有个对称点。所以，这个双质点陀螺的论证很容易推广到对称陀螺的情况。中学物理就是这样理解陀螺问题的，这其实跟过山车一个道理，但是要涉及到力矩，所以复杂了一些而已。

接下来我们再用大学普通物理学的知识来理解陀螺问题，仍然是定性讨论。

收尾状态。选择一个非惯性参考系，以进动角速度$\Omega$转动的参考系，那么，在这个参考系中，陀螺只是在倾斜地自转。此时有两种惯性力：陀螺整体的离心力，由支点处的摩擦力抵消；转动参考系中运动物体的科里奥利力，与重力平衡。仍然采用上面的双质点陀螺模型，可以看到，最高点A受到的科里奥利力是$2v \times \Omega$，最低点A受到的力是$2(-v) \times \Omega$，这两个力大小相等、方向相反，构成了一对力偶，其合力和合力矩正好与重力（+支持力）和重力矩平衡。注意，这里是矢量乘法。

过渡过程也一样。在倾倒过程中的某个特定时刻，可以选择一个转动参考系，科里奥利力构成的力偶使得陀螺发生顺时针的进动，如果进动还不足以实现收尾状态，陀螺就会继续倾倒，倾倒的角速度就会增大，科里奥利力也就增大，直到动态平衡位置。更详细的讨论可以表明，倾倒过程可能会发生过冲，然后又折回来，再跌下去，如此反复不已，这就是所谓的章动。

这些方法还是不够直接。大学普通物理会教我们如何描述和解决对称陀螺的定点转动问题，引入转动惯量、转动方程，最后就是求解微分方程组。如果是学习朗道讲义的学生，那就更直接了，先用欧拉角描述刚体的状态，再写出拉格朗日量，然后用变分法得到的拉格朗日方程直接得到描述陀螺运动的微分方程组，就可以得到漂亮的封闭形式的解（椭圆积分有什么可怕的？），自转、进动和章动，一个个都是清清楚楚的。然后，然后就没有然后了。一切都是那么自然而然的，自然得让初学者忘掉也有前面那些笨拙方法可以理解的道理。但是，我觉得吧，笨人的笨法子，有时也会有些用的，就像罗大佑唱的那样，野百合也有春天。

布衣岂常贱，世事车轮转。

——刘驾《上马叹》

PS：

关于非惯性参考系，大学生总应该知道些的。我大概也会写一篇文章，只是没有想好题目，也许可以用《力学教学笔记之万法归一》？

后记：

初稿犯的错误如下。

1、现象描述。应该是“自转方向是顺时针方向，那么进动方向也是顺时针方向；反之亦然。”初稿写反了。

2、离心力的方向。应该考虑的是垂直于进动轴，而非垂直于自转轴。

3、科里奥利力的方向。应该是$v\times \omega$，而非$\omega\times v$。

犯错误是因为事先知道结论，就忽略了现象的描述和解释的细节。为了提醒自己，避免将来再犯类似的错误，我把初稿的相关部分放在后面，并用下划线标出了错误的位置。

姬扬

2016.11.10

PS：有图有真相

张云：陀螺进动的简单图示

M=r×F永远逆时针（r要出去），所以根据角动量定理dL=Mdt也永远逆时针。。。。。。

那些“转动产生力矩抵消重力力矩”的说法，其实和“运动产生离心力抵消万有引力”是一类意思。混淆了因果关系。应该是“力矩改变转动状态”，“力改变运动状态”。

张云老师的说法更加严格、正确。我只能说，这篇文章本来就不是很严格，目标也只是针对刚入学的大学生——希望没有把他们搞晕。

2016/11/13

力学教学笔记之进动的陀螺

……

现在就来谈谈陀螺问题：对称陀螺的定点转动。高速转动的轴对称重陀螺，放在桌面上。如果陀螺的轴与桌面垂直，与重力方向一致，它当然可以保持这种状态不变；如果你推它一下，陀螺会发生倾斜，但是不会倒下，而是继续自转，同时绕着垂线方向转动（这就是所谓的进动）。如果自转方向是顺时针方向，那么进动方向就是逆时针方向；反之亦然。

显然，这种情况与静止陀螺不一样。静止的陀螺也可以垂直地放在桌面上，但是那个位置是不稳定的平衡点，任何风吹草动都会让它倒下来。

我们分三种情况来讨论：初始状态，对称轴垂直于桌面；收尾状态，对称轴与垂线保持固定夹角，陀螺既有自转又有进动；这两者之间的过度状态，即陀螺倾倒的过程。

初始状态很简单，陀螺绕着对称轴转动，对称轴垂直于桌面，与重力方向一致，桌面的支持力向上，正好与重力平衡。摩擦力使得陀螺的转动逐渐变慢。

收尾状态就复杂一些。中学生不懂刚体，只会用质点，所以先考虑一个简化模型：对称陀螺由两个质点A和B构成，这两个质点位于无质量的坚固十字架的横枝两端，十字架的竖枝是转动轴。陀螺的自转角速度为$\omega$，顺时针方向，进动角速度为$\Omega$，逆时针方向。质点A转到最上方的时候，运动方向向前，质点B在最下方，运动方向向后。在陀螺自己看来，这两个速度大小是相等的；但是在桌面上看，因为陀螺整体在进动，所以A的速度就大于B，这两个质点的离心力就不一样，A的方向向上（实际上是倾斜地向上），B的方向向下（实际上是倾斜地向下），合力的方向向上，条件合适的时候，这个离心力的合力与陀螺的重力、桌面的支持力保持平衡，总的合力为零。如果把陀螺当成一个杠杆，支点为陀螺与桌面的接触点，那么离心力的合力产生的力矩也正好与重力的力矩相等。这就是收尾状态保持不变的原因。

再讨论过渡状态。在陀螺倾倒的过程中，陀螺有个整体向下的转动。考虑两个质点A和B都在水平方向的情况。在陀螺看来，A运动的方向向下，B向上，二者的大小相等，方向相反。由于陀螺整体在向下转动，所以，在桌面上看，A的运动速度大于B，二者离心力的合力不为零，就会拉着陀螺向前运动，也就是逆时针方向运动。

对称陀螺绕着对称轴旋转对称，陀螺的每一个点都有个对称点。所以，这个双质点陀螺的论证很容易推广到对称陀螺的情况。中学物理就是这样理解陀螺问题的，这其实跟过山车一个道理，略微复杂了一些而已。

接下来我们再用大学普通物理学的知识来理解陀螺问题，仍然是定性讨论。

收尾状态。选择一个非惯性参考系，以进动角速度$\Omega$转动的参考系，那么，在这个参考系中，陀螺只是在倾斜地自转。此时有两种惯性力：陀螺整体的离心力，由支点处的摩擦力抵消；转动参考系中运动物体的科里奥利力，与重力平衡。仍然采用上面的双质点陀螺模型，可以看到，最高点A受到的力是$2\Omega \times v$，最低点A受到的力是$2\Omega \times (-v)$，这两个力大小相等、方向相反，构成了一对力偶，其合力和合力矩正好与重力（+支持力）和重力矩平衡。注意，这里是矢量乘法。

过渡过程也一样。在倾倒过程中的某个特定时刻，可以选择一个转动参考系，科里奥利力构成的力偶使得陀螺发生逆时针的进动，如果进动还不足以实现收尾状态，陀螺就会继续倾倒，倾倒的角速度就会增大，科里奥利力也就增大，直到动态平衡位置。更详细的讨论可以表明，倾倒过程可能会发生过冲，然后又折回来，再跌下去，如此反复不已，这就是所谓的章动。

……