指导教师: 张新生教授

本成果于2008年7月荣获"第九届全国统计科学研究优秀成果奖--博士论文类二等奖"

摘要
Ornstein-Uhlenbeck型过程(后简称OU型过程)是一类非常重要的带跳Markov过程. 近年来, 其在刻画分支过程与Levy过程之间的联系, 金融资产波动率以及违约风险强度等方面具有广泛的应用. 本文主要研究Ornstein-Uhlenbeck型过程的转移规律, 模拟算法及其基于离散抽样的这类随机过程参数的统计推断. 主要工作和结论如下:

(1) 介绍OU型过程的定义, OU型过程与自可分解分布的关系及其两种构造OU型过程的方法. 在构造OU型过程的两种方法中, 一种是从过程平稳分布构造, 另一种是从驱动Levy过程构造. 对于第二种构造方法, 提出了一种新的构造实例--OU-CP过程及其若干子例.
(2) 讨论OU型过程的转移规律. 包括OU型过程转移函数的特征函数表示形式; 用若干个分布已知或密度具有具体表达形式的随机变量之和表示OU-CP过程及TS-OU过程的转移规律的结论; OU-CP过程及TS-OU过程转移函数和转移密度的表示形式及光滑性; OU-CP过程及TS-OU过程转移密度的近似计算方法; TS-OU过程转移分布的自可分解性等.
(3) 给出了几种OU型过程的模拟算法及实现方法. 介绍了OU型过程模拟的Euler方法, OU-CP过程的精确模拟算法与实现方法; 改进了TS-OU过程的近似模拟方法; 提出了IG-OU过程的精确模拟算法与实现方法; 提出了IG-OU过程强度参数的一个新的估计量并用精确模拟验证了它相对于另一估计量的优势.
(4) 研究基于离散抽样的Gamma-OU过程的参数估计的似然方法及其估计量的渐近性质. 给出了强度参数的一个估计量, 并证明了其较弱相合性强的相合性质; 在假设强度参数已被估计出来的条件下, 又研究了Gamma-OU过程一维平稳边际分布形状参数和尺度参数的最大似然估计量的存在性, 唯一性, 强相合性及渐近正态性; 在参数的似然估计中, 似然函数是难于计算的, 通过Gaver-Stehfest算法, 构造了一个似然函数的逼近序列, 它收敛于真实(但未知)的似然函数; 最大化这一序列可以得到收敛于真实最大似然估计量的一列估计量, 并且这一估计序列具有与最大似然估计相同的渐近性质.
(5) 研究基于离散抽样的几类OU型过程参数估计的估计函数方法. 对于OU-CP过程, 在给出刻画过程转移特征的一些矩关系之后, 通过矩估计构造了平稳分布的参数估计量, 并讨论了估计量的弱相合性及渐近正态性. 在一定条件下, 将OU-CP过程参数估计的结论推广到叠加OU-CP过程的情况. 对于IG-OU过程, 在得到条件期望和条件方差的基础上, 本文同时基于简单估计函数和鞅估计函数, 构造了这一过程参数的估计量, 并同样给出了估计量的渐近性质. 对于得到的估计量, 文中都用模拟验证了其精确性.

本文结论的创新之处在于: 一是对于OU型过程部分子过程的转移规律得到了较为系统和具体的结论; 二是提供了精确模拟IG-OU过程的算法; 三是通过构造Gamma-OU过程转移密度的逼近序列, 给出了其参数的近似最大似然估计; 四是提出了一种新型OU型过程--OU-CP过程, 并利用其平稳分布和驱动复合Poisson过程每个跳分布之间的矩关系, 构造了估计其参数的简单估计函数.

本文研究方法的创新之处在于: 一是在研究OU型过程的转移规律时, 从转移函数的特征函数出发, 将一个未知分布的随机变量表示成若干个分布已知或密度具有具体表达形式的随机变量之和; 二是在给出Gamma-OU过程参数的似然函数时, 提供了一种分布函数存在一个或有限个间断点时似然函数的处理方法; 三是从研究一个分布的密度函数与该密度函数关于参数的若干阶导数之间的大小关系出发, 证明了与Gamma-OU过程最大似然估计渐近方差相关的若干阶矩的存在性; 四是在构造IG-OU过程参数估计的鞅估计函数部分时, 绕开最优线性估计函数的选取方法, 通过OU型过程的性质作选择.

本文对OU型过程转移规律的研究结论有助于研究人员更深层认识这类过程, 有利于这类过程更广泛的应用. 对OU型过程模拟算法和技术的研究为验证OU型过程统计推断的理论结果提供有效的试验工具和手段. 对于OU型过程参数最大似然估计的研究无疑是一个有重要意义的课题. 这不仅因为参数最大似然估计一般具有良好的性质, 而且如果这一问题解决, 还可以避免用Bayes方法时先验分布选择的主观性, 以及模型具体参数化结构已知时用非参数方法的欠精确性. 用估计函数方法对OU型过程参数估计的研究, 作为似然方法的一种替代品, 它避免了最优化方法的选择, 减少了时间的花费. 在最大似然估计量难于获得的情况下, 估计函数方法无疑是一种不错的选择. 总之, 本文对OU型过程相关问题的研究, 既可以完善这类过程的统计理论, 又可以为处理实际数据提供更加丰富和有效的方法.

关键词: Levy过程, Ornstein-Uhlenbeck型过程, 转移密度, 鞅估计函数, 最大似然估计
中图分类号: O211.64, O211.9, O242.1