数学是严谨的吗？（2 逻辑是元凶）

    在现代科技中，数学的严密性应该是最好的了。可是，数学真的是严密的吗？

1 什么是严密性？

   真傻不知道！

     《苏联数学百科全书》的wiki版Proof词条说：http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Proof

A reasoning conducted according to certain rules in order to demonstrate some proposition (statement, theorem); it is based on initial statements (axioms). In practice, however, it may also be based on previously demonstrated propositions. Any proof is relative, since it is based on certain unprovable assumptions.

   其大意是说：证明是根据特定的规则论证某些命题的推理过程；它以一些初始命题（公理）为基础。可是实际上，它可以使用已经被证明的命题。所有的证明都是相对的，因为它建立在一些还没有被证明的假设之上。

   大逻辑学家K. Gödel说过：

   没有一个在特定分辨率层次上形成的知识系统，能够完全解释那个层次，必须具有一个高层元知识才能完全解释它。然而，当我们着手去构造这个更一般的元知识时，它也要求更高一层的元-元知识去解释它。

       Pierre de Fermat说：

“The essential quality of proof is to compel belief.” 证明的本质是迫使别人相信。

   假如这些都是真的，则根本不存在“绝对严密”的证明。

   因为数学家的任务不是建立数学理论，而是做出证明。建立一个新的数学理论，大约只是数学系二年级大学生作业的水平。

2 怎样才能严密化？

   真傻不知道！

   目前的严密化，实际上是对“某些规则”的遵守，尽管这些“某些规则”同样需要证明。目前公认的“某些规则”，主要是逻辑：形式逻辑及其数学化。

   人们的确发现，一些简单的逻辑系统是完备的：能够证明它应该证明的。如1930年哥德尔的学位论文《逻辑函数演算的公理的完全性》解决了一阶谓词演算的完全性问题。这个结果使得希尔伯特的“形式化”方案得到有力的支持。

   好景不长。

    1930年秋在哥尼斯堡会议上，哥德尔宣布了第一不完全性定理：一个包括初等数论在内的形式系统，如果是协调的，那就是不完全的。不久之后他又宣布：如果初等算术系统是协调的，则协调性在算术系统内不可证明。这就是1931年正式发表的两个著名的哥德尔不完全性定理。

      作为对哥德尔第一不完全性定理的信息论形式的具体化，Chaitin在1966-1974发表了3个定理。柴廷定理大体上说：

   （1）如果樱桃、西红柿、茄子等比“洗菜盆”小，则可以在该盆里洗；

   （2）显然这个洗菜盆不能洗大冬瓜；但从樱桃、西红柿、茄子的个头越来越大的次序看，应该存在大冬瓜；

   （3）不幸的是，洗菜是两难之一：用小洗菜盆洗，则需要多次换水；用另外一个大洗菜盆洗，就可以少换几次水。

   之后有什么普遍性的进展吗？真傻期待您的指教！

3 将来该怎么办？

   真傻不知道！

   真傻以为，宇宙是无限复杂的。按着现有的数学观念，事物（集合）的复杂性可以分成

a，c，f，h，i，b，……，

 0，1，2，3，4，5，……，  

等复杂性（详见1997年、1999年我们哲学研究的论文）。

   这是对两千多年前老子《道德经》“修观第五十四”中的观点：“故，以身观身，以家观家，以乡观乡，以国观国，以天下观天下，吾何以知天下之然哉？依此。”观点的现代化。老子在这里提出了一种“分层”和“相似”的认识方法论。现代集合论的“幂集公理”，是一种用来分层的方便方式（按照指数增长方式）。

   实际上，另一种可能的方式是“幂运算公理”，它对应“幂函数的增长方式”。并且“幂运算公理”蕴含“幂集公理”。

   这是对我国老一代逻辑学家王宪钧教授“按照某种原则给集合分层次”的思想启发。见《王浩. 数理逻辑通俗讲话. 北京：科学出版社，1981》。

   在我们的分层里，第0类（对应自然数）是完备的，因为现在能显式表示的逻辑是“可数”的。一旦进入“连续性”（第1类），就没有人类目前能够显式表示具体方式和它们建立一一对应的，即不能“规则化”了。进入“几何曲线”（第2类）复杂性，人类还没有认真考虑过这个复杂性层次的问题。人家Cantor好歹思考了一下，就被以导师克罗内克等主流数学家礼送到精神病院里死了。人类的进步是多大啊！这比当初毕达哥拉斯处理掉希帕索斯的方法文明多了！

   有没有不依赖复杂性的分层方法？

   现在还不知道！

   图灵的停机问题，实际上是一个“自指”问题：我死了吗？

   不用这么悲壮，“我睡着了吗？”无论是那个“我”，都不知道答案。因为该问题的信息量总是超过该系统的固有信息量的。无解！

   但的确存在一些深刻的“无信息量”运算。

   在“集合论”和“泛代数”里，对于包含“空集Φ”和“全集1”的集合，以及定义在其上的“对称减”和“交”（分别作为“加法”和“乘法”），可以构成一个环。这个环可以解释成各种具体的信息量。

   或许，这样的“无信息量”规则，是今后集合论的发展方向，除了沈有鼎教授的“包含矛盾的运算”之外。

   假如希尔伯特、哥德尔在世，他们会做些什么呢？

工欲善其事，必先利其器。

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相关链接：

[1] 胡作玄. 第三次数学危机. 成都：四川人民出版社，1985.

中国科普博览，http://www.kepu.net.cn/gb/basic/szsx/4/44/4_44_1001.htm

[2] 莫里斯•克莱因. 古今数学思想. 上海：上海科学技术出版社，1978.

[3] Encyclopedia of Mathematics（苏联数学百科全书）的wiki版：

http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page

[4] 中国大百科全书•数学，中国大百科全书出版社，1988.

[5] 邹晓辉2011-03-22，AAAS：《第二章 数学的性质 Chapter 2: THE NATURE OF MATHEMATICS》

http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=94143&do=blog&id=425112

[6] mathematics，from the Encyclopædia Britannica

http://www.britannica.com/EBchecked/topic/369194/mathematics

[7] Mathematics，from the Encyclopedia of Mathematics

http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Mathematics

[8] 王浩. 数理逻辑通俗讲话. 北京：科学出版社，1981.

[9] 王宪钧. 数理逻辑引论. 北京：北京大学出版社，1982.

[10] 杨正瓴. 人脑有多复杂？百科知识，1997, 7(总第216期): 39 – 40.

[11] 杨正瓴，林孔元. 人类智能模拟的“第2类数学（智能数学）”方法的哲学研究. 哲学研究，1999, (4): 44–50.

[12] 张钹. 近十年人工智能的进展. 模式识别与人工智能，1995，8(增刊)：1-9.

[13] Kurt Godel (Author), Solomon Feferman (Editor), John W. Dawson (Editor), Stephen C. Kleene (Editor), Gregory H. Moore (Editor), Robert M. Solovay (Editor), Jean van Heijenoort (Editor). Collected Works: Volume I: Publications 1929-1936. New York: Oxford University Press, 1986.

[14] Greenwood, 金国藩译. 科学前沿. 国际自然科学基金委员会，1993.

[15] K. Gödel. Ueber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Monatsh. Math. Physik, 1931, (38): 178-198.

[16] 杨正瓴. 第二类计算机构想 [J]. 中国电子科学研究院学报, 2011, 6(4): 368-374.

[17] 俗解Chaitin定理

http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=107667&do=blog&id=478066

[18] 2009-11-12，《超级数学与21世纪》

http://bbs.sciencenet.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=78026

[19] 数学是严谨的吗？（1 历史事实）

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=107667&do=blog&id=747843

[20] 数学是严谨的吗？（3 一个形象的比喻）

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=107667&do=blog&id=749285