为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   图难乎其易也，为大乎其细也。天下之难作于易，天下之大作于细。

—— 《老子五千言》第63章

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[悲哀，科普，数学] 素数（163）：居然没有时间具体看看黎曼 ζ函数“平凡零点”、“非平凡零点”的贡献

非平凡零点： nontrivial zero

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

一、黎曼 J(x) 公式的构成 

图1  li(x)，整体行为的主导

图2  ζ 函数“平凡零点”的贡献

图3  ζ 函数“非平凡零点”的贡献

图4  ζ 函数“非平凡零点”的贡献

二、已经三天多了，还没有时间具体核对

图5  前 5个素数及其前 6次幂

图6  前 100个正整数，以及素数

   就是从上面的表格里，具体看看“平凡零点”、“非平凡零点”的贡献。

   例如：2×2×3×3 = 36

       4×9 = 36

   的具体表现。

   已经三天多了，居然没有时间！

   悲从中来，不可断绝。

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，算术基本定理

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=289929

[2] 算术基本定理(数学定理) - 百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86/10920095

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-08-21 23:44，[笔记，科普，数学] 素数（162）：Mertens 第三定理与欧拉乘积 Euler product 第一项

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1548997.html

[2] 2026-08-20 00:57，[笔记，科普，数学] 素数（161）：黎曼解析延拓 ζ(s) 第五步，黎曼ζ(s) 的样子

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1548700.html

[3] 2026-08-19 23:15，[打听，科普，数学] 素数（160）：黎曼解析延拓 ζ(s) 第四步，为什么“围道积分”引进了“平凡零点”？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1548697.html

[4] 2026-08-18 01:46，[打听，科普，数学] 素数（159）：黎曼解析延拓 ζ(s) 第四步“围道积分”引进“平凡零点”？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1548370.html

[5] 2026-08-17 23:38，[打听，科普，数学] 素数（158）：黎曼解析延拓 ζ(s) 第三步“围道积分”自身，看上去没有问题吧？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1548368.html

[6] 2026-08-14 02:54，[打听，科普，数学] 素数（155）：黎曼解析延拓ζ(s)的主要步骤，来自 Harold Mortimer Edwards

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1547824.html

[7] 2026-08-11 23:27，[打听，科普，数学] 素数（152）：欧拉ζ(s)到底被不断延拓（黎曼解析延拓）成了什么样子？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1547488.html

[8] 2026-08-10 03:40，[打听，科普，数学] 素数（151）：与欧拉ζ(s)对照，黎曼解析延拓 ζ(s) 第一步的后果是什么？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1547174.html

[9] 2026-08-09 23:39，[打听，科普，数学] 素数（150）：与欧拉ζ(s)对照，黎曼解析延拓后的 ζ(s) ，到底有哪些具体的变化？(1)

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1547169.html

[10] 2026-08-06 02:22，[笔记，科普，数学] 素数（147）：仿真，从黎曼 J(x) 根据非平凡零点反演出 π(x) （1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546701.html

[11] 2026-08-05 23:27，[打听，科普，数学] 素数（146）：怎么理解黎曼 1859年论文第675页 logζ(s) 的推导？

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[12] 2026-08-03 20:41，[笔记，科普，数学] 素数（144）：黎曼假设能给出“精确的”素数计数函数吗？1859年论文第675、678页局部截图

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[13] 2026-08-02 23:46，[笔记，科普，数学] 素数（143）：黎曼 ζ函数非平凡零点与素数位置的一些仿真结果（1）

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[14] 2026-08-01 23:51，[笔记，科普，数学] 素数（142）：“欧拉乘积 Euler product”引入了比算术基本定理更多的多余项（2）？

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[15] 2026-07-31 22:33，[笔记，科普，数学] 素数（141）：欧拉桥（欧拉乘积 Euler product）引入了比算术基本定理更多的多余项？

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[16] 2026-07-27 00:42，[小结，科普，数学] 素数（137）：黎曼 1859 论文阅读笔记（16），感慨与疑问，以及德文、汉译、英译 （全网址）

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[17] 2026-08-03 23:24，素数全部博文网址（2026-07）七月份（31篇）

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[18] 2026-07-03 23:40，素数全部博文网址（2026-06）六月份（30篇）

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[19] 2026-06-03 19:28，素数全部博文网址（2026-05）五月份（31篇）

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[21] 2026-06-03 19:15，素数全部博文网址（2026-03）三月份（28篇）

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[22] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

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[23] 2025-09-08 22:06，[资料，科普] 《数学百科全书》词条“证明”，以及数学“证明”的传奇：当证明长度增加时，错误的概率也增加了

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[25] 2024-07-17 22:41，[实验，理论，数学文化] 物理学试验与数学证明：庞加莱看正态分布

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[26] 2024-11-19 22:49，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得、高斯对“算术基本定理”研究的有效性

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[27] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

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[29] 2024-07-24 22:41，[笔记，科普，资料] The Millennium Prize Problems 千禧年大奖难题

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[30] 2025-05-25 06:38，[优先权？] “P对NP”已经解决。 The P vs NP (P versus NP) has been solved

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