[注：下文是群邮件的内容。]

《Galois theory》

H.E. p. 59 (S44)

* * * 12:29

证明的第四段。

Lemma. If U(X, r) = V(X, r)·W(X, r) where U, V, W are polynomials in two variables with coefficients in K (so that U(X, r), V(X, r), and V(X, r) are polynomials in one variable X with coefficients in K(r) = K') then U(X, α^i·r)= V(X, α^i·r) W(X, α^i·r) for all i = 1, 2, ... .

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评论：怎么来看这个引理 ?

---- 1. U, V, W 是 K 之上的二元多项式。

---- 2. 给第二元赋值 r，则 U = V·W。

---- 3. U, V, W 成为 K' 之上的一元多项式。

---- 4. 此时用 α^i·r 替换 r，则仍有 U = V·W。

(α^i 可称作 “本原因子”)

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玩一下四角图。

V       W

r        U

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简记: U(X, r) = V(X, r)W(X, r) ==> U(X, α^i·r) = V(X, α^i·r)W(X, α^i·r)

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概念化：

1. 给 r 乘以 α^i 称作 “本原作用”。

2.  U 在 r 处因式分解为 VW 称作 “r-分解”。

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引理的重述：本原作用 保持 r-分解。

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重写四角图

U       V·W

 .

r         α^i

注：此图可按 “王侯将相” 解读。

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评论：以上是即兴发挥，得到一个经验 —— 通过 “概念化” 重述，达成 “简洁” 和 “观点化” 的陈述。

---- 此法可以增加 “熵密度”(= 信息量/字符数)。

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引理的证明。

The polynomial U(X, Y) - V(X, Y)W(X, Y) can be expanded in the form Φv(Y)X^v + Φv-1(Y)X^(v-1) + ... + Φ0(Y).

---- 多项式 U(X, Y) - V(X, Y)W(X, Y) 可以展开成形式 Φv(Y)X^v + Φv-1(Y)X^(v-1) + ... + Φ0(Y)。

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评论：任何二元多项式都可以写成那个样子(参考二元或多元多项式的定义)。

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Substitution of r for Y gives 0 = Φv(r)X^v + Φv-1(r)X^(v-1) + ... + Φ0(r).

---- 用 r 替换 Y 得到 0 = Φv(r)X^v + Φv-1(r)X^(v-1) + ... + Φ0(r)。

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Therefore r is a root of each of the polynomials Φv(Y), Φv-1(Y), ..., Φ0(Y) with coefficients in K.

---- 因此 r 是每个多项式(系数在K中) Φv(r), Φv-1(r), ..., Φ0(r) 的根。

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评论：这一句不是特别显然... 应该是考虑到 X 的任意性。

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Since Y^p - k is irreducible over K (see S42), Galois' Lemma I implies that it divides all the Φ's.

---- 由于 Y^p - k 在 K 之上不可约 (见 S42), 伽罗瓦引理1 蕴含它整除全部的 Φ。

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Therefore, U(X, Y) = V(X, Y)W(X, Y) + (Y^p - k)Q(X, Y), where Q(X, Y) is a polynomial in two variables with coefficients in K.

---- 因此，U(X, Y) = V(X, Y)W(X, Y) + (Y^p - k)Q(X, Y) 其中 Q(X, Y) 是 K 之上的二元多项式。

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评论：这一句有跳略... 前面最好加一句 “从而 Y^p - k 整除 U(X, Y) - V(X, Y)W(X, Y)”。 

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Substitution of α^i·r for Y then gives the desired conclusion.

---- 用 α^i·r 替换 Y 即得到想要的结论。

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评论：这里用到 r^p = k 以及 α^p = 1 (从而 (α^i)^p = (α^p)^i = 1)。

---- 就是说上面的绿色式子，在 Y^p - k 中，用 α^i·r 替换 Y，会得到 Y^p - k = 0。

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小结：此段是在命题2的证明过程中，插入了一个引理及其证明。该段的证明部分很清楚，但思路值得进一步挖掘 (以便找出规律)。

* * *23:35(中间有睡觉、吃饭等；共花费 6 个番茄钟)。