||
[注:下文是群邮件的内容。花费2个番茄,废掉2个番茄。共两个小时。]
《Galois theory》
H.E. p. 56 (S42)
* * * 12:52
2. Show that a subgroup H of a group G partitions a presentation of G into presentations of H and, in particular, that the number of elements in H divides the number of elements in G.
---- 群 G 的子群 H 分割 G 的表述为 H 的若干表述,并且 H 中元素的个数整除 G 中元素的个数。
.
证明:考虑 G的元素 n = 6 的情形。此时 G 的表述是 6 x 3 的阵列:
a b c
b a c
c b a
a c b
b c a
c a b
..............................................S............T............U....................ST..........................TU
写出大群的置换:G = {e, a <~> b, a <~> c, b <~> c, a <~> b & a <~> c, a <~>c & b <~> c },或者写成 G = {e, S, T, U, ST, TU}。
---- 大群的 6 个置换是以第一行作为 “参照排列” 得出的。
.
检查置换群的可交换性
---- ST(abc) = S(cba) = cab
---- TS(abc) = T(bac) = bca
评论:置换群不是可交换群!(之前想当然以为可交换)
.
这帮助解释了为何此群没有四元群。
---- 即 {e, S, T, ST} 不构成群...
---- 因为 TST 跑出去了...
---- 因为 交换律不成立:ST ≠ TS。
.
构造 G 的三元子群
---- H = {e, ST, TS} √
---- ST·ST(abc) = ST(cab) = S(acb) = bca = TS(abc) ==> (ST)^2 = TS
---- TS·TS(abc) = TS(bca) = T(acb) = cab = ST(abc) ==> (TS)^2 = ST
评论:经验证,上述 H 的确构成群。
.
(刚下楼一趟,等电梯的时候想到个主意...)
---- 也许应该用反证法!
.
设 G 的元素个数为 n,它的子群 H 的元素个数为 m。假设 m 不整除 n。则有 q 和 r 使得 n = m·q + r。其中,q 和 r 是正整数,且 r < m。往下必须用到置换群的性质...(搁置)
.
转而考虑另一件事。按本练习,若 n 是素数,则它的子群只能是单位群和它自己,即:(素群) 不存在非平凡的真子群。
.
再构造 G 的三元子群
---- H = {e, ST, STS} ?
---- ST·STS = S·(TS·TS) = S·ST = T 跑出去了。
.
---- H = {e, TST, STS} √
---- TST·STS = ST·TS = e
评论:经验证,上述 H 的确构成群。
.
小结:置换群不可交换;素群不存在非平凡子群;构造了两个三元子群。(注意:上次笔记存在若干错误)。
* * *14:56
Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )
GMT+8, 2024-9-26 07:09
Powered by ScienceNet.cn
Copyright © 2007- 中国科学报社