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[注:下文是群邮件内容。]
《Galois theory》 H.E. p. 55 (S42) * * * ??? 第三段 Another example of interest is an equation of the form x^p = k where the known quantities K include k and a primitive pth root of unity α (with p prime). ---- 另一个有用的例子是形如 x^p = k 的方程,其中已知量 K 包含 k 和一个本原 p次单位根 α (p是素数)。 . If a is any root of the equation x^p - k = 0 then the other roots are αa, α^2a, ..., α^(p-1)a. ---- 如果 a 是方程 x^p - k = 0 的任何根,则其它根是 αa, α^2a, ..., α^(p-1)a. . If S is any substitution of the Galois group then S(a) = α^j·a for some j and all values of S are given by S(α^k·a) = α^kS(a) = α^(k+j)a (because S is an automorphism that leaves the elements of K fixed). ---- 如果 S 是伽罗瓦群的任何置换,则 S(a) = α^j·a 对应某个 j,而 S 的所有值由 S(α^k·a) = α^kS(a) = α^(k+j)a 给出 (因为 S 是自同构使得 K 中的元素不动)。 . 评论:α^k·a 代表任何一个根,则 S(α^k·a) 给出了“通项公式”,这么个 “all values of S”。 . 注:此处隐含关系式 α^p = 1,但没有明说 (如何证明?)。 ---- 把 α·a 代入方程得 α^p·a^p = k,因 a^p = k,则 α^p = 1 (a^p 替换成 k 再约分)。 ---- 实际上 “本原p次单位根” 已经提示 α^p = 1。 . Thus a αa α^2a ... α^(p-1)a αa α^2a α^3a ... a α^2a α^3a α^4a ... αa ... ... ... ... ... α^(p-1)a a αa ... α^(p-2)a is a presentation of a group containing the Galois group. ---- 于是,(略) 表述了一个群,包含了伽罗瓦群。 . 评论:在理论上,伽罗瓦群是由 G(X) 的根标识的;但在实践中,只是拿出 包含 伽罗瓦群的表述。 疑问:此处为何不是 n! 个置换 ? 疑问:文中如何得知 “包含” ? . Since this is a group with p elements, and since the number of elements in a subgroup must therefore divide p, the Galois group is either the entire group presented above or it is the group containing the identity alone. ---- 既然这个群有 p 个元素,并且子群中的元素个数因此必须整除 p,则伽罗瓦群要么是上面表述的整个群,要么只包括单位元。 . 评论:此处体现出 p 取素数的效用。 . In the latter case, by Proposition 1, every element of K(a, b, c, ...) is in K and the equation already has p roots in K. ---- 对于后一情况,由命题1,K(a, b, c, ...) 中的每个元都在 K 中,并且方程已经有 p 个根在 K 中。 . A simple consequence of this observation is that if k does not have a pth root in K and if K contains a primitive pth root of unity then the polynomial x^p - k is irreducible over K (see Exercise 4). ---- 这一观察的一个简单后果是,如果 k 在 K 中没有p次根,并且如果 K 包含一个本原p次单位根,则多项式 x^p - k 在 K 之上不可约 (见练习 4)。 . 评论:此段的例子不妨称作 “幂方程”。 . 小结:幂方程的伽罗瓦群要么是循环群,要么是单位群。 * * *??? 符号大全、上下标.|| 常用:↑↓ π α ΓΔΛΘΩμφΣ∈ ∉ ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ Ø ∀ ∃ ≤ ≥ ⌊ ⌋ ⌈ ⌉ ≠ ≡ ⁻⁰ 1 2 3 ᵈ ⁺ ₊ ₀ ₁ ₂ ₃ ᵢ . |
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