《Galois theory》

H.E. p. 54~55 (S42)

* * * 9:14

第二段

His other example is the group of the equation x^(p-1) + x^(p-2) + ... + x + 1 = 0 satisfied by the primitive pth roots of unity where p is prime.

---- 他的另一个例子是方程 x^(p-1) + x^(p-2) + ... + x + 1 = 0，它包含本原 p 次单位根，其中 p 是素数。

参：p.21。

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注：n 次单位根 α 称为本原的，如果 n 是 最小 正整数使得 α^n = 1. (n 在此处是固定的)

---- 比如，在 4 个 4次单位根 (-1, 1, -i, i) 中两个是本原的 (-i, i)。

---- 如果 (n)sqrt(c)* 是 c 的任何 n 次根，则 c 的最一般的 n 次根是 α·(n)sqrt(c)，其中 α 是 n 次单位根。

星号注：(n)sqrt(c) 是指：给c开n次方。 

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Here if a is any root of the equation the other roots are a^2, a^3, ..., a^(p-1).

---- 这里如果 a 是方程的任何根，则其它根为 a^2, a^3, ..., a^(p-1)。

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评论：这样的根可称作“幂根”。

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If S is any element of the Galois group, then S(a) = a^k for some k = 1, 2, ..., p-1 (because S(a) is a root).

---- 如果 S 是伽罗瓦群的任何元素，则 S(a) = a^k 而 k 取 1, 2, ..., p-1 中的某个值 (因为 S(a) 是一个根)。

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Thus the effect of S on any root is known because S(a^j)=S(a)^j = a^(jk) (S is an automorphism).

---- 这样 S 在任何根上的效应是已知的，因为 S(a^j) = S(a)^j = a^(jk) (S 是自同构)。

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The substitutions S(a^j) = a^(jk) are more conveniently decribed by choosing a primitive root g mod p (See S24)...

---- 通过选择本原根 g mod p (见 S24)，置换 S(a^j) = a^(jk) 能得到更方便的描述...

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... and setting a0 =a, a1 = a0^g, a2 = a1^g, a3 = a2^g, ... .

---- 设 a0 = a0 =a, a1 = a0^g, a2 = a1^g, a3 = a2^g, ... 。

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Then S carries ai to ai+μ, where μ is defined by S(a0) = aμ, because S(a1) = S(a0^g) = S(a0)^g = aμ^g = aμ+1, S(a2) = aμ+2, ... .

---- 那么 S 把 ai 带到 ai+μ，其中 μ 由 S(a0) = aμ 定义，因为 S(a1) = S(a0^g) = S(a0)^g = aμ^g = aμ+1, S(a2) = aμ+2, ... 。

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Thus the group of this equation is contained in the group presented by

   a0   a1  a2  ...  ap-2

   a1   a2  a3  ...  a0

   a2   a3  a4  ...  a1

  ...   ...   ...   ...

   ap-2  a0  a1  ...  ap-3.

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---- 此方程的群包含在如下阵列表述的群里: (略)

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The group depends on the field K of known quantities.

---- 该群依赖于域 K (已知量)。

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Galois, clearly considering the case where K is the field of rational numbers, states, without proof, that the group is the set of all p - 1 substitutions presented in the table above.

---- 伽罗瓦不加证明地指出，该群是上述阵列表述的所有 p -1 个置换组成的集合。显然，他考虑的是 K 为有理数域的情况。

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The proof of this fact uses a theorem of Gauss (Exercise 10).

---- 此事实的证明用到 Gauss 的一个定理 (练习10)。

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小结：介绍了伽罗瓦的第二个例子方程(次数为素数降一次、系数全为 1 的方程)，及其伽罗瓦群。我把它称作 “幺方程(p -1)”，伽罗瓦群是 p-1阶循环群。

* * *15:41 (含吃饭、开小差时间)

 符号大全、上下标.|| 常用：↑↓ π ΓΔΛΘΩμφΣ∈ ∉ ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ Ø ∀ ∃ ≤ ≥ ⌊ ⌋ ⌈ ⌉ ≠ ≡