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◆ 我们这些凡人的智力活动究竟处于一个什么水平?

已有 1704 次阅读 2018-1-29 14:46 |个人分类:科学研究|系统分类:生活其它

除了摸索没有别的办法。
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继续之前的考虑*。设三次项的系数为1,并假定三次方程有分解:(x+α )(x^2+βx+γ)=0。展开左端,得:x^3 + β x^2 + γx + α x^2 + α β x + α γ=0。整理同类项,得:
x^3+(α +β)x^2+(α β+γ) x + α γ=0。 
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显然,x=-α 是一个根(可以是复数),而α在展开式中出现在三个地方(能出现的地方都出现了),而 β 和 γ 分别出现两次,但 β 跟 α 的“关系”更近一些(有乘有加)。我考虑这个分解的上下文是试图先解开如下三次方程,即:
x^3+cx+d=0。
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这样,要想二次项不出现,必然有α +β=0,即 β= -α。其它,有:c=α β+γ,d=α γ。这里,c、d是已知的。于是可以定出 γ= c+ α^2,或者 γ=d/α。换句话说,二次因式的系数是α的表达式。这意味着,另两个根与设定的根 -α “纠缠”在一起,而且只要知道一个根,另外两个根就能立即算出来 —— 这对于二次项出现的情况也适用(此时β=b-α)。
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可是,怎么去求出那一个根呢?我设想了一些策略,总体而言就是“猜和试”,逐渐“析”出——解的结构。比如,有理由相信,三次方程的根具有“根号套根号”的结构——外面是二次开方,里面是三次开方——这是通过考察x^3=2得到的猜测。至于(我)哪年哪月能找到解,就不得而知了。从根的性质上看,一般应该有三种情况:1)全部为实根;2)全部为复根;3)实根和复根。(这里的“复根”是指带有非零虚数)。
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三次方程当然可以随便构造,并且知道它的解——随便写三个一次式再做连乘,并令为零。比如 (x-1)(x+i)(x+1)=0。多写一些例子肯定会有好处。比如,你会发现还有个系数的类型问题。整系数,根会怎么样?有理系数,根会怎么样?实系数,根会怎么样?复系数,根会怎么样?变系数,根会怎么样?最后一个问题暂不考虑(嘿嘿)。
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可能有人会问,求解已经解决的三次方程有何意义?我的回答是,这件事对每个人都有重要意义。它会让你思考一些问题。我们这些凡人的智力活动究竟处于一个什么水平?很多凡人的叠加(合作),是否真能大于1个“天才”?学校教育的本质是什么?“天才”究竟取决于先天配置,还是取决于后天的训练(即对大脑神经系统的有效训练)?(我)做哪些事情更明智?
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回答这些问题,需要先对智力活动的水平进行定义或分级。我初步给出如下分级。
1. 元级贡献。比如,相对论、三次方程求解。特征是,提出新的元模式,并达成不朽。(元模式不可分割,也不能从现存元模式推导出来,它属于“元增量”)。
2. 元级连接。在现存的元模式之间发现或建立新的“元连系”,并达成不朽。比如,韦达定理。
3. 传递。用现有方法解决现有问题 —— 没有创造,只会套用。(理论和应用领域都有这种例子)。
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我想,大部分人都在第三档上晃悠。顺带评论,韦达定理本身很平凡,但那是在代数的“黑暗时期”做出来的。韦达的贡献是把方程符号化(之前是用语言叙述),符号化的意义在于简化,从而有利于显化一些关系。刚查了一下,关于韦达的贡献,Wikipedia上有这么一句话 “He then ended the algebra of procedures (al-Jabr and Muqabala), creating the first symbolic algebra and claiming that with it, all problems could be solved...”*. 显然,韦达定理是通过“对照系数”得出的,这是用字母表示方程系数的直接后果。【参较百度:韦达定理韦达】。昨天推导出根与系数的关系后,不太确定,今天查了有关资料确认(我要求自己不查找三次方程求解方面的技术资料,但允许查阅历史资料,允许使用三次方程求解方法出现以前的知识)。
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昨天提出从当前方程转换到更高次方程的办法。比如,给定一元二次方程 ax^2+bx+c=0。我用方程的左端,去替换二次项中的x,再用剩余项替换一次项,最后用常数项替换常数项(不变),得到:
a(ax^2+bx+c)^2+b(bx+c)+c=0
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这是我自己想出的一种“范儿”,但也受到柯西的“替换”这个概念的启发(柯西怎么替换的不得而知)。我的想法是,或许转化为高次方程会更容易求解(嘿嘿)。这个式子展开,整理得到:
x^4+2b/ax^3+(b^2/a^2+2c/a)x^2+(2bc/a^2+b^2/a^3)x+(c^2/a^2+bc/a^3+c/a^3)=0
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我把那个二次方程的根记作 -r1,-r2 (负号是为了表示方便),或者用集合表示 r(0)={-r1, -r2}。派生出来的四次方程的根集合用r(1)表示,括弧中的1表示1阶替换。假如从四次方程出发,再做替换,就会得到16次方程,它的根集合就记作r(2)。这样,r(n)表示从原方程出发,替换n次所得方程的根集合。我可以研究r(0)和r(1)的间接关系——即通过系数发生的联系。为此,我需要引入其它记号。
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设集合 A 有n个元素a1,a2,...,an,则用 A[1]表示“全选一求积再求和”,即A[1]=a1+a2+...+an;用A[2]表示“全选二求积再求和”,即A[2]=a1a2+a1a3+...+a_(n-1)an,等等。这种符号可以简化韦达定理的表述形式。比如,二次方程的韦达定理为:b/a=r1+r2=r(0)[1],c/a=r1r2=r(0)[2]。若考虑上述四次方程,按照韦达定理,则三次及以下的系数依次为r(1)[1], r(1)[2], r(1)[3], r(1)[4]。则有r(0)系列和r(1)系列的如下关系:
r(1)[1]=2r(0)[1],
r(1)[2]=  r(0)[1]^2+2r(0)[2],
r(1)[3]=2r(0)[1]r(0)[2]+r(0)[1]^2/a,
r(1)[4]=  r(0)[2]^2+r(0)[1]r(0)[2]/a+r(0)[2]/a^2.
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怎么样,有点高大上的样子了吧?如果要进一步给出r(0)系列和r(n)系列的关系,可能还真得下一番功夫(n次替换会很繁琐)!这样的话,可否“设计”一种替换,使得r(0)系列和r(n)系列的关系“好看”呢?这就需要研究啦。你看,理论可以做出一大堆,但问题却很难解决...

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注:本文首发于群邮件[Graduate Gate..Sunday],原标题“论策略”。



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