为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   图难乎其易也，为大乎其细也。天下之难作于易，天下之大作于细。

—— 《老子五千言》第63章

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[打听，科普，数学] 素数（155）：黎曼解析延拓ζ(s)的主要步骤，来自 Harold Mortimer Edwards

非平凡零点： nontrivial zero

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

爱德华兹 Harold Mortimer Edwards, 1936-08-06 ~ 2020-11-10, 84

https://pics.cdn.librarything.com/picsizes/23/01/230191-r-h1200-w1200-pv25_63692b4441774377424c4145_v5.jpg  

一、黎曼对 ζ(s) 进行解析延拓的主要步骤

图1  Edwards 1974年第 8页局部

图2  Edwards 1974年第 8页局部

Π(s) is an analytic function of the complex variable s which has simple poles at s = -1, -2, -3, ... . It has no zeros.

Π(s) 是复变量 s的解析函数，在 s=-1，-2，-3，… 等处有单极点。它没有零点。

图3  Edwards 1974年第 9页局部

图4  Edwards 1974年第 9页局部

图5  Edwards 1974年第 10页局部

图6  Edwards 1974年第 10页局部

图7  Edwards 1974年第 11页局部

formula (3) dejines a function ζ(s) which is analytic at all points of the complex s-plane except for a simple pole at s = 1.

公式 (3) 定义了一个函数 ζ(s)，该函数在复s平面的所有点上都是解析的，除了 s=1 处的单极点。

   黎曼的原文很难读懂。似乎还有排版错误。

二、打听：平凡零点（trivial zero）是 ‌Π(s) 解析延拓引起的？

   这是为什么？

   正像一个科普视频里所言：

   在 zeta 函数的解析延拓之下，

   实部小于 1 的区域其实都是虚构出来的，

   原本并不存在，

   所以 1/2 直线也正处在这虚构区域，

   可是为什么

   它却跟所有的质数是相关的呢？

   而且，为什么起作用的偏偏是虚数（虚部）呢？

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，算术基本定理

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=289929

[2] 算术基本定理(数学定理) - 百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86/10920095

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-08-13 23:29，[打听，科普，数学] 素数（154）：Merten's third theorem 默滕斯第三定理

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1547818.html  

[2] 2026-08-12 00:17，[打听，科普，数学] 素数（153）：黎曼 1859论文里，为什么先验地假设 s=1/2+ti ？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1547489.html  

[3] 2026-08-11 23:27，[打听，科普，数学] 素数（152）：欧拉ζ(s)到底被不断延拓（黎曼解析延拓）成了什么样子？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1547488.html  

[4] 2026-08-10 03:40，[打听，科普，数学] 素数（151）：与欧拉ζ(s)对照，黎曼解析延拓 ζ(s) 第一步的后果是什么？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1547174.html  

[5] 2026-08-09 23:39，[打听，科普，数学] 素数（150）：与欧拉ζ(s)对照，黎曼解析延拓后的 ζ(s) ，到底有哪些具体的变化？(1)

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1547169.html  

[6] 2026-08-07 23:49，[笔记，科普，数学] 素数（148）：欧拉 ζ(s) ，用 η(s) 表示出，以及 s 扩展为复数时的收敛域的变化

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546946.html  

[7] 2026-06-29 00:34，[打听，科普，数学] 素数（109）：欧拉用 η函数表示实数域的 ζ 函数，收敛域扩展到了 (0, 1)+(1, +∞)

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541357.html  

[8] 2026-08-06 02:22，[笔记，科普，数学] 素数（147）：仿真，从黎曼 J(x) 根据非平凡零点反演出 π(x) （1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546701.html  

[9] 2026-08-05 23:27，[打听，科普，数学] 素数（146）：怎么理解黎曼 1859年论文第675页 logζ(s) 的推导？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546698.html  

[10] 2026-08-03 20:41，[笔记，科普，数学] 素数（144）：黎曼假设能给出“精确的”素数计数函数吗？1859年论文第675、678页局部截图

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546359.html  

[11] 2026-08-02 23:46，[笔记，科普，数学] 素数（143）：黎曼 ζ函数非平凡零点与素数位置的一些仿真结果（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546212.html  

[12] 2026-08-01 23:51，[笔记，科普，数学] 素数（142）：“欧拉乘积 Euler product”引入了比算术基本定理更多的多余项（2）？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546109.html  

[13] 2026-07-31 22:33，[笔记，科普，数学] 素数（141）：欧拉桥（欧拉乘积 Euler product）引入了比算术基本定理更多的多余项？

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[14] 2026-07-27 00:42，[小结，科普，数学] 素数（137）：黎曼 1859 论文阅读笔记（16），感慨与疑问，以及德文、汉译、英译 （全网址）

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[15] 2026-08-03 23:24，素数全部博文网址（2026-07）七月份（31篇）

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[16] 2026-07-03 23:40，素数全部博文网址（2026-06）六月份（30篇）

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[17] 2026-06-03 19:28，素数全部博文网址（2026-05）五月份（31篇）

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[18] 2026-06-03 19:22，素数全部博文网址（2026-04）四月份（30篇）

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[19] 2026-06-03 19:15，素数全部博文网址（2026-03）三月份（28篇）

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[20] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

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[21] 2025-09-08 22:06，[资料，科普] 《数学百科全书》词条“证明”，以及数学“证明”的传奇：当证明长度增加时，错误的概率也增加了

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[22] 2023-03-01 17:30，[打听] 四色定理计算机“证明”的“诗、电话簿”原文

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[23] 2024-07-17 22:41，[实验，理论，数学文化] 物理学试验与数学证明：庞加莱看正态分布

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[25] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

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[27] 2024-07-24 22:41，[笔记，科普，资料] The Millennium Prize Problems 千禧年大奖难题

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1443609.html  

[28] 2025-05-25 06:38，[优先权？] “P对NP”已经解决。 The P vs NP (P versus NP) has been solved

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