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一个被猜成无理数的有理数 精选

已有 3600 次阅读 2019-11-2 08:05 |个人分类:谈数学|系统分类:科普集锦| 数学, 勒让德常数, 有理数, 无理数, 切比雪夫

作者:蒋迅

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Source: wikipedia

我们都听说过根号2的故事。历史上有许多特殊的数字,它们被人们认定是有理数但最后却不得不承认是无理数。但似乎还没有哪个特殊的数字被人们认定是无理数的有理数,至少没人正式宣布一个数是无理数,而后来被人们证明是有理数。不过有这样一个常数,它曾经被猜测是无理数,而最后发现它其实是有理数。这个数就是勒让德常数 ([wikipedia] Legendre's constant)。

1808年,勒让德在研究素数的分布情况时,发现 π(x) 满足以下等式:

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这里,π(x) 是素数计数函数,B 是一个常数,称为勒让德常数。勒让德估计 B 大约为1.08366。没有证据他宣称了 B 是无理数,但他很可能觉得那是一个无理数。其实这样的猜测在当时还是满合理的。从上面的图片我们可以看到,当 n 从1增加到10万时,那个极限值确实是非常接近于1.08366(横线)。那个时候,数学家们普遍认为 π(x) 符合某种规律。显然,勒让德也参加了对 π(x) 的研究。在这一点上,具体 B 是多少没有那么重要。重要的是这个常数的存在性,因为它说明素数定理prime number theorem)是正确的。勒让德让大家看到了希望。但勒让德本人没有能等到结果。他在1833年因病去世。

到1849年,这项研究有了新的进展。俄国大数学家切比雪夫证明了,如果这个极限存在的话,那么这个极限 B = 1。我们在“俄国天才数学家切比雪夫和切比雪夫多项式”一文中详细介绍过这位数学家。切比雪夫的证明给数学界布上了一层乌云。大家想,这个极限大概不存在吧,因为1是如此的普通,它怎么可能是 B 呢?可惜切比雪夫也没能等到最后的结果。他在1894年去世。

1899年,最后的结果出现了。比利时数学家查理斯·拉瓦莱·普桑(Charles Jean de la Vallee Poussin)终于解决了这个问题。他证明了极限存在并且等于1。这是他在数学领域里做出的主要贡献。他因此获得了比利时国王授予的男爵称号。

现在我们知道了 B 是一个有理数,它的值是1。它不能像 πe,和 φ 那样可以那样地高贵。

最后,留给数学家们的问题变成了:我们还有一个勒让德常数吗?答案是:现在人们更愿意把勒让德原来给出的1.08366称为勒让德常数,尽管它已经没有了原来的意义。




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