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网球拍定理的前生与今世:从费曼到陶哲轩

已有 2445 次阅读 2019-11-22 08:51 |个人分类:谈数学|系统分类:科普集锦| 数学, 物理, 费曼, 陶哲轩, 网球拍定理

作者:蒋迅

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最近油管上的一个视频“The Bizarre Behavior of Rotating Bodies, Explained”着实火了一把。在这个视频中你看到的是一个非常奇异的现象。前苏联保密十多年;大神陶哲轩也搅和了进去。我本来是想写一篇介绍的,但发现脸书上已经有人写的很精彩了。考虑到国内的读者可能读不到,我转发在自己的博客里。

【维基百科】网球拍定理

网球拍定理或者中间轴定理,是经典力学中描述自由刚体运动时欧拉方程的解,该刚体可以绕三个不同的主轴旋转,并且三个转动惯量互不相等。因为该现象由俄罗斯宇航员弗拉基米尔·扎尼别科夫(Vladimir Dzhanibekov)于1985年在太空中发现,所以又称作扎尼别科夫效应。[1] 1991年的一篇论文解释了该效应。[2]

该定理可以用如下实验来描述:刚体绕居中的主轴转动时,转动很快就变得不稳定,而绕另外两根轴旋转则比较规则。[3] 现在用下面的实验来解释:握住拍柄使得拍面水平,然后释放球拍,这时将不容易接住球拍,因为拍面会翻转。相应的,如果双手去搓拍柄,然后释放球拍,将很容易接住;还可以使拍面与地面垂直,释放后也将比较容易接住。

事实上,该实验可以用任意有三个不同转动惯量的物体来实现,例如书本或者电视遥控器。只要旋转轴稍微与第二主轴不同,该现象就会发生,不依赖于空气阻力或者重力。

数学描述

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这里,I1, I2, I3 为三个转动惯量,并假设 I1 > I2 > I3ω1, ω2, ω3 为三个相应的角速度, image, image, image 为其时间导数。

现在研究绕主轴1旋转的情况,要确定平衡状态的性质,可以假设另外两个初始角速度都非常小,从而image 也非常小,所以ω1与时间的关系可以忽略掉。

然后对方程(2)求导,并把image 到代入其中,从而有

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值得一提的是,注意,现在ω2的符号发生了变化,所以绕着这根轴旋转是稳定的。

对于I3 也是类似的原因,也是稳定的。

现在将一样的分析应用到I2 上,这一次是 image 非常小, ω2 与时间的关系可以忽略。

对方程(1)求导,并把 image 代入其中,从而有

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注意, ω1 的符号保持不变(角速度会增长),所以绕主轴2旋转不稳定。因此,一个很小的扰动就会使物体发生"翻转"。

原文出处:【脸书】[真实元素] 那个和古怪旋转有关的定理有很多名字

那个和古怪旋转有关的定理有很多名字:

它既是「札尼别科夫现象」(Dzanibekov effect),以在 1985 年一次奇幻又惊险的抢救失灵太空站的任务中,意外发现蝶形螺拴奇怪转动方式的前苏联太空人命名。

它也是「网球拍定理」,以某一篇以网球拍为例的物理论文为名。或是以背后的原理:在固体物体的三个主要旋转轴之中,绕着转动惯量(moment  of inertia)次大的轴旋转是不稳定的,而称之为「介中轴定理」(intermediate axis theorem)。

Veritasium 的 Derek  对这个问题着迷已经很久了,之前做过两集节目和这个有关。一集是一个大圆木板在偏离圆心处钻了一个小圆洞,旋转起来小圆洞会一下在这头、一下又翻转到那头。另外一集是机智问答,请大家沿着萤幕的短边翻转你的手机,手机好像自己会想翻面一样,请大家想想其中原理。

物体的超灵异翻滚,这现象在日常并不罕见,甚至可以说常常发生,因此其实物理学前辈就研究过了,无论是在  Landau&Lifshitz 的力学经典教科书,或更早之前 19 世纪的法国工程师庞梭(Louis  Poinsot)的数学表达。总之,有些物理学家知道为什么,但尚未达到常识的地步,所以一直到最今都还能以此为题发论文XD

奇怪的是当年札尼别科夫同志向党报告我们的奇异旋转现象时,苏联当局决定严守机密,一守就是十多年。为什么?这个现象难道可以用来入侵美国本土,或/且拿来开启相反世界的传送口吗?这我们先按下不提。

物理学家费曼在加州理工上课时曾被学生问到「有没有不靠课本上复杂的微分方程式系统而理解介中轴定理的方法」(着实复杂,但复杂的程度只是适中,它的解析解和单摆有点像,只要请出「雅可比椭圆函数」就姑且搞定)。传说费曼认真思考了几秒钟,坚定的答说:没有。XDD

Derek 表示不甘心,发誓一定要找到直观的理解法,这样他做的影片才不会输给 3blue1brown 和 Vsauce(大误)。可是人家是费曼啊,整天没事的嗜好就是算物理题目的大神,连他都没有顿悟出来的。要小小的超越费曼......就只能找另一名大神了。

那位大神就是很喜欢在网路上跟人合作的数学家陶哲轩 Terry Tao。他曾经在 2011 年在 MathOverflow 论坛的回帖里用过一个无质量单位圆盘上的一对大质点 M, M 和小质点 m, m 的旋转来理解这个现象(影片里动画很精美我就不浪费时间翻译成字了)。

直观解释完了。但其实陶的帖子的描述漏考虑了一个颇重要的点,看完影片的你不晓得有没有发现少了什么。Derek 被大神阴了哈哈。在 Derek 今年问他能否为这集做采访(答案是打枪QQ)过后不久,陶就自己默默编辑了帖子把漏洞补起来了。请自行参阅大神: mathoverflow.net/questions/81960

在影片底下没什么人会读的叙述区,Derek  又找了一位科普大神帮忙,minutephysics 的 Henry  表示他都是这么理解介中轴定理的:能量分配原理。在转动惯量最大的轴上,给定角动量对应的转动动能最低。转动惯量最小的轴,给一样量的角动量,对应的转动动能最大。(关系式:  L = IωEk=1/2 Iω^2L^2 = 2*I*Ek,即转动惯量和动能成反比)所以当物体沿最小的 I 转,动能最大,哪里都去不了。最小的 I 转也是哪里都去不了。只有沿着介中轴的时候能量和角动量有余裕反覆交换。

一个谜解了,还剩下苏联的谜题。苏联人不知道的是,搞太空竞赛的对手美国佬早就知道这回事了,并且在太空时代早期吃过这物理原理的亏,早学了乖。苏联科学家守密的理由显然是因为他们觉得:不能贸然排除「地磁逆转」其实是整个地球因为札尼别科夫同志发现的不稳定性而逆转,地磁本身其实在原地没动的一种惊天动地的可能性。

就在 2012 年马雅末日很潮的时候,札尼别科夫现象也重出江湖,被当成一种末日候选机制──电影《2012》其实有演出来,主角约翰库萨克的飞机从黄石公园出发不久,居然就差点撞到喜马拉雅山,等他一瞬间就横跨了太平洋?!

电影宇宙里的解释是,因为地心的异常变热,地壳和地函解离而产生旋转方向逆转的现象。约翰库萨克向西藏飞去,但同时西藏也往他那边高速转过去,是跳关完成......写了这些字我觉得只有太扯,没有最扯。

那地球有没有可能逆转呢?答案是几乎没有。

Derek  接下来用太空人旋转水瓶的画面来展示:如果旋转体不是刚体,其中有会柔软变形因此会将旋转动能以热能形式耗散的东西──例如水瓶,还有地球(地球有海洋,有液态外核,也有黏弹性固体的地函等等),那么三个旋转轴之中就只剩下一个是稳定的:转动惯量最大,最「惰性」的那个旋转轴。

我们已藉由重力探测卫星,发现地球和火星最大的正重力异常区(大块的集中质量)主要都位在赤道附近,这表示在天体的长程历史中,早就调整到最稳定的那个轴了。不是常常听到三峡大坝蓄水,冰河期的两极冰冠,或是苏门答腊大地震改变了地球的自转吗,就是转动惯量的改变带来的自转轴微调。

何况地球还有一个巨型月亮在黄道附近运转,一直在用潮汐力把地球揉捏着,进而稳定了自转轴。地球的自转轴倾角始终在 22~24  度之间摆荡。火星则只有两颗小丁丁月球,自转轴摆荡的就比较剧烈了,从 15~35 度(目前是25度)都可能发生过。但我不晓得 NASA  怎么知道这种事情的,难道是 51 区的时光机?!

这一集 Veritasium 也让我想起电影《世界末日》的主角:那颗陨石本人,因为剧情需求,原本依照一个轴转动,通过月球附近时受引力干扰,开始绕着两个轴转动,因此变得很不稳定,甚至使通讯中断再讲就暴雷了......

这就是为啥,第二拉格朗日点的通讯站是很重要的基础设施了(离题)。现在我们可以假装理解这是因为介中轴的转动不稳定的缘故啊。

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The Bizarre Behavior of Rotating Bodies, Explained
Spinning objects have strange instailities known as The Dzhanibekov...




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