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[学习笔记] H.E. p.62

已有 734 次阅读 2020-10-31 15:45 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件内容。]

《Galois theory》

H.E. p. 61(S46)

* * * 

证明的第五段

Let θ be chosen and let S be a substitution of the Galois group which does not leave θ invariant, say Sθ = θ1 ≠ θ.

---- 选定 θ 并令 S 为伽罗瓦群里的置换,它不保持 θ 不变,即 Sθ = θ1 ≠ θ。

.

Define θ2 to be Sθ1, θ3 to be Sθ2, and so forth.

---- 定义 θ2 为  Sθ1,θ3 为 Sθ2,依此类推。

.

Galois says that “since p is a prime number, this sequence cannot end until the term θp-1, after which one has θp = θ, θp+1 = θ1, and so forth.”

---- 伽罗瓦说 “因为 p 是一个素数,此序列直到 θp-1 项才会到头,之后则有 θp = θ, θp+1 = θ1,依此类推。”

.

However, he gives no proof.

---- 然而,他没有给出证明。

.

In order to prove that θi = θi+j if and only if j is divisible by p, one can proceed as follows.

---- 为了证明 当且仅当 j 可由 p 整除,可按如下步骤进行。

.

评论:此段的要义是,拿 S “累次”作用于 θ,从而产生 θ序列,此序列以 p 为循环周期。

.

疑问:S 是否为 G 中任意的置换?

---- 从上下文看,S 在 G 内但不在 G' 内。

---- G' 以外的置换都 不能保持 θ 不变吗?

.

小结:此段描述了 θ 序列




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