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[学习笔记] H.E. p.62

已有 758 次阅读 2020-10-30 09:53 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容。]

《Galois theory》

H.E. p. 61(S46)

* * * 

证明的第四段(之前的三段只是前导)

Let G be presented as in Galois' definition of the Galois group, with the rows corresponding to conjugates of the Galois resolvent t.

---- 令 G 表述为伽罗瓦定义的伽罗瓦群,各行对应伽罗瓦预解 t 的共轭。

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评论:回顾 t = Aa + Bb + Cc + ...,其中 a, b, c, ... 是方程的诸根;A, B, C, ... 取为适当的整数,使得对 t 中的 a, b, c, ... 做全排列后,得到 (连同 t) 共 n! 个不同的值。以这 n! 个值为根,得到 n! 阶的多项式 F(X),取其在 “已知域” 上的不可约因式 G(X),其以 t 为根 (之一)。G(X) 的其它根称作 t 关于 G(X) 的 “共轭”。

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Let t, t', ..., t^(μ-1) be the conjugates of t which correspond to rows in the presentation of the subgroup G' ⊂ G.

---- 令 t, t', ..., t^(μ-1) 为 t 的共轭,对应子群 G'⊂ G 的表述的诸行。

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(Then μ is the number of substitutions in G' and pμ the number in G.)

---- (于是 μ 为 G' 中置换的个数,而 pμ 是 G 中置换的个数)

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评论:回顾该命题要做的事情是 (Kα ~ f ~ G, G'p==> (K' ~ f ~ G', k)

---- 关键是从 Kα 中拿出 k,使得对它开p次方、添加到 K 得到 K',而 f 在 K' 上的伽罗瓦群恰好是 G'。

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The coefficients of C(X) = (X - t)(X - t')...(X - t^(μ-1)) are the elementary symetric functions of t, t', ..., t^(μ-1) and therefore are invariant under the substitutions of G' because these substitutions merely reorder t, t', ..., t^(μ-1).

---- C(X) = (X - t)(X - t')...(X - t^(μ-1)) 的系数都是 t, t', ..., t^(μ-1) 的初等对称函数,因此 (这些系数) 在G' 的诸置换下不变,因为这些置换只改变 t, t', ..., t^(μ-1) 的顺序。

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评论:这里是说 G',而不是 G。

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If the coefficients of C were invariant under G then, by Proposition 1, they could all be in K, and t would be a root of the polynomial C(X) of degree μ with coefficients in K, contrary (By Lemma 1 in S41) to the fact that t is a root of an irreducible polynormial of degree μp with coefficients in K (because μp is the number of elements in the Galois group over K).

---- 设若 C 的系数在 G 下不变,则由命题1,这些系数都在 K 中,并且 t 成了系数在 K 中的 μ 次多项式 C(X) 的根,这与事实相反 (由 S41 的引理1),即 t 是系数在 K 中的 μp 次不可约多项式的根 (因为 μp 是 K 之上 伽罗瓦群 的元素个数)。

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评论:一方面 t 是 C(X) 的根,另一方面 t 是 G(X) 的根,两个多项式都在 K 之上。由于 G(X) 不可约,于是由引理1,G(X) 整除 C(X) —— 这件事情不会发生 —— 因为 C(X) 的次数小于 G(X) 的次数。

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特评:作者的假设前提可以写得更清楚些,即 “假设 C(X) 的每个系数在 G 下不变”。这样,最终得到矛盾时,假设不成立,意味着 “C(X) 至少有一个系数在 G 下不是不变的”。书中这句话的后半部分“contrary (By Lemma 1 in S41) to the fact that...” 表达欠妥 (没有透彻地揭示矛盾),容易让人误解。

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Therefore, at least one coefficient of C(X) is not invariant under G and has the properties required of θ.

 ---- 因此, C(X) 至少有一个系数在 G 下不是不变的,从而有了 θ 要求的性质。

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小结:证明的第四段读写完毕 (书中倒数第二句表达欠妥)。




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2 郑永军 刘炜

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