[注：下文是群邮件的内容。]

《Galois theory》

H.E. p. 61(S46)

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Proposition. Let G be the Galois group of f(x) = 0 over K and let G' be a normal subgroup of G of prime index p.

---- 命题. 令 G 为 f(x) = 0 在 K 之上的伽罗瓦群，令 G' 为 G 的正规子群，有素指标 p。

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G      G'(p)

 f       K(α)

注：该句包含的四个元素(α来自下一句)。

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Assume also that K contains a primitive pth root of unity α, that is, a solution of α^p = 1 with α ≠ 1.

---- 假定 K 包含一个本原 p 次单位根 α，即 α^p = 1 的解，其中 α ≠ 1。

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评论：α^p = 1 写成 x^p = 1 似乎更妥善。

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Then there is an element k of K such that if K' ⊃ K is the field obtained by adjoining a pth root of k to K then the Galois group of f(x) = 0 over K' is G'.

---- 则存在 K 的元素 k 使得：如果  K' ⊃ K 是由添加 k 的p次根到 K 得到的域，则  f(x) = 0 在 K' 之上的伽罗瓦群是 G'。

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G'      k

 f       K'

注：结论出现两个新元素 k 和 K。

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简记：(Kα ~ f ~ G, G'p) ==> (K' ~ f ~ G', k)

注：两端括弧中，左边是 “(方程)体系”，右边是 “驱动量” (matics)。

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缩记：(·, G'p) ==> (·', k)

注：用“·” 代表“体系”。

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评论：命题给出原体系向新体系转化的驱动机制 —— 从原体系中拿出 G'p，立刻就得到 k，开 p 次方添到 K 而得 K' —— 两头与 f 结合即得到新体系。

注：上述过程也可简记为: · ~> G'p => k ~ K' ~> ·'

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小结：命题的叙述读写和阐释完毕。