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[学习笔记] H.E. p.61

已有 611 次阅读 2020-10-20 08:29 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容。]

《Galois theory》

H.E. p. 61(S46)

* * * 

Proposition. Let G be the Galois group of f(x) = 0 over K and let G' be a normal subgroup of G of prime index p.

---- 命题. 令 G 为 f(x) = 0 在 K 之上的伽罗瓦群,令 G' 为 G 的正规子群,有素指标 p。

.

G      G'(p)

 f       K(α)

注:该句包含的四个元素(α来自下一句)。

.

Assume also that K contains a primitive pth root of unity α, that is, a solution of α^p = 1 with α ≠ 1.

---- 假定 K 包含一个本原 p 次单位根 α,即 α^p = 1 的解,其中 α ≠ 1。

.

评论:α^p = 1 写成 x^p = 1 似乎更妥善。

.

Then there is an element k of K such that if K' ⊃ K is the field obtained by adjoining a pth root of k to K then the Galois group of f(x) = 0 over K' is G'.

---- 则存在 K 的元素 k 使得:如果  K' ⊃ K 是由添加 k 的p次根到 K 得到的域,则  f(x) = 0 在 K' 之上的伽罗瓦群是 G'。

.

G'      k

 f       K'

注:结论出现两个新元素 k 和 K。

.

简记:(Kα ~ f ~ G, G'p==> (K' ~ f ~ G', k)

注:两端括弧中,左边是 “(方程)体系”,右边是 “驱动量” (matics)。

.

缩记:(·, G'p==> (·', k)

注:用“·” 代表“体系”。

.

评论:命题给出原体系向新体系转化的驱动机制 —— 从原体系中拿出 G'p,立刻就得到 k,开 p 次方添到 K 而得 K' —— 两头与 f 结合即得到新体系。

注:上述过程也可简记为: · ~> G'p => k ~ K' ~> ·'

.

小结:命题的叙述读写和阐释完毕。




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2 郑永军 杨正瓴

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