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[学习笔记] H.E. p.59 逐段温习之第二段

已有 644 次阅读 2020-9-12 14:52 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容。]

《Galois theory》

H.E. p. 59 (S44)

* * * 

逐段温习一遍 (之证明的第二段)。注:下文的黑体不代表向量,只是为了增加视觉效果。

.

H       h

.

r        α     

评论:这四个元素中,左边在 K'-世界,右边在 K-世界。

---- 一开始只有 K,从中拿出 k 并开 p 次方得到 r,再添加到 K,就得到 K'。

---- K 和 K' 看作两个 “世界”,后者包含前者。

---- 有意思的是,K'-世界中的 H 生成的 h 落到了 K-世界。

---- 这是由 K-世界中的 α (辅助) 引起的。

---| 首先,H(X) 可以写成 H(X, r)。见注1。

---| 然后,将 H(X, r) 中的 r 替换成变量 Y,得到 H(X, Y)。

---| H(X, r) 系数在 K' 中的一元多项式,H(X, Y) 是系数在 K 中的二元多项式。

---| 前一句中的替换,引起了观点的转换...

---| 即由 “一元” 的观点转换为 “二元” 的观点...

---| 同时,由 K'-世界转换到 K-世界。

---- 现在 “考虑” h(X) = H(X, r)H(X, αr)H(X, α^2r)…H(X, α^(p-1)r)见注2。

---- 其中 r, αr, α^2r, ..., α^(p-1)是 (辅助方程) Y^p - k = 0 的 p 个根。

---- 将这些根看作 h(X) 的 p 个(参)变量,Y1, Y2, ..., Yp。

---- 则 h 中,X^i 的系数可以看作 p 元多项式

---- 观察 h(X)的表达式可知:在 h 中交换 Yi 和 Yj 的位置不会改变 h。

---- 意味着:交换 Yi 和 Yj 不会改变 X^i 的系数

---- 对照橙色部分的语句得知:(作为每个 X^i 的系数的) 那些 p 元多项式是对称多项式

---- 由此,h 的系数在 K 中。见注3。

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评论:这一段的要义是,由 H(X) 构造出 h(X),而后者的系数在 K 中。

.

注1:理由是 K' 中的每个元素都可以表达为 r 的多项式,且其系数在 K 中。不过,原作在证明中没有指出此理由的根据,待考(?)。

注2:此处 h(X) 是 “从天而降”,其来源在证明的第五段 (转去看一下就清楚了)。

注3:此处用到 “对称多项式的基本定理”,待考(?)。但是,在我看来,既然  r, αr, α^2r, ..., α^(p-1)r 是 Y^p - k = 0 的 p 个根,而此方程(绿色字体) 的系数显然在 K 中;那么,按照根与系数的关系 (即韦达定理) 就知道,每个系数都可以表达为这些根的对称多项式。只须证明,上文中的那些对称多项式 (见红色字体) 都可由此处的对称多项式之一表达即可 (待考 ?)。

.

小结:证明的第二段温习完毕。




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