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“亏缺引理”的证明

已有 378 次阅读 2019-11-19 10:42 |个人分类:大学观察|系统分类:科研笔记

[按:下文是发给自己的邮件内容,标题和介绍是另拟的。] 

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介绍: 方阵的特征值之一为零, 曰“缺”。方阵删除一列, 曰“亏”。亏缺之间通过一公式纠缠在一起...

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之前
就两个结果做了概念化处理, 今天处理其一的证明(大一学生可以理解)。
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Lemma 1. Let one eigenvalue of A be zero, WLOG we can set λn(A) = 0. Then, (1)  Πλi(A)|det (B vn)|^2 = det(B* A B), for any n x n - 1 matrix B.
---- “WLOG” 是“不失一般性”的缩写.
---- 连乘号Π作用于指标 i=1~n-1.
---- (1) 的左端可写成 |det (B vn)|^2·Πλi(A).
---- 矩阵 B 是 n x (n - 1) 阶.
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评论: 以上扫除了可能的表层障碍. 接着进入——
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  证明的准备和摸索.
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1) 既然关乎特征值与特征向量, 可写出:
Avi = λivi.
其中, λi 是特征值, vi是对应的特征向量.
---| 关于矩阵的特征值, 有重要结论:
V*AV = D.
其中, V*·V = E; D 是对角阵, 由 n 个 λi 构成.
---- 可以选择 V 使得 D 的对角元 λi 按下标1~n自然排列. 
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评论: 以上是两个最基本的相关知识点.
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2) 将两个知识点结合起来:
V*AVV*vn = V*λnvn.
==> D·(V*vn) =λn(V*vn)
---- D = V*AV
---- 设列向量 (V*vn) = W =(w1,...,wn)'.
---- 则左边:   D·W = (λ1·w1,...,λn·wn)'.
---- 右边: λn(V*vn) = (λn·w1,...,λn·wn)'.
==> a) 所有 λi = λn. (wi ≠ 0, i=1~n-1).
==> b) 若 λi ≠ λn (i=1~n-1), 则 wi = 0 (i=1~n-1).
---- 此时必有 wn ≠ 0.(因 V*·V = E, vn是特征向量, 从而W不可能是零向量).
==> 即 W =(0,...,0,wn)'.
---- 此时 D·W = (0,...,0, λn·wn)' = λnW.
(W可看做D的对应于特种值 λn 的特征向量).
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注: 只看 V*vn 是从原作得到的提示. 
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3) 集中考虑 b) 的情况. 做个规范处理:
----  (V*vn) = W = (0,...,0,wn)' = wnen.
---- 即: 1/wn(V*vn) = en.
---- 再看 Avn = λnvn. 可以将 1/wn 乘到 vn里:
即 A(vn/wn) = (vn/wn)λn (因 wn ≠ 0).
(文中说的“normed eigenvectors” 该是此意?). 
---- 将 vn/wn替换为 vn.
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评论: 按引理假定, λn = 0. 由以上讨论及参考原作可以确认其它特征值都不为零.
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4) 来看 (1) 的右端, 其中 
---- B*A B = B*VDV*B = (V*B)*D(V*B)
---- 令 V*B = C. 则 B*A B = C*D C.
---- 注意, B 和 C 有相同的形状.
                  (C1)
---- 设 C = ( x  ), 其中 C1 是 n - 1 阶阵, x 是 1 x n - 1 阶阵.
---- 设 D = diag(D1, 0).
---- 计算 B*A B = C*D C = C1*D C1.
---- 上式两端取行列式, 从右端算, 得: Πλi·|det(C1)|^2.
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5) 观察 (1) 的左端, 只须证明
|det(B vn)|^2 = |det(C1)|^2.  (%)
---- 为了与C1发生联系, 则左端须凑出 V*B.
---- 恰好, V*(B vn) 和 (B vn) 的行列式相等.
(假定 V* 的行列式等于 1).
---- V*(B vn) = (V*B V*vn) = (C en)
   (C1  0)
= ( x    1)
---- 这是分块上三角阵, 其行列式为 det(C1).
---- 于是 (%) 式成立.
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评论: 1)~3)准备 V*vn = en; 4)~5) 分别计算(1)的两端获得证明.
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  证明的关键点总结.
* 对 A 做对角化: V*AV = D.
* 达成 V*vn = en.
* 令 V*B = C, 并对 C 做分块.
* 假定 V* 的行列式为 1.(?)
(若 det(V*)=a, 则用 1/aV* 替换 V*,  同时用 aV 替换 V, 不会影响对角化).
* 大策略: 左右两端分别计算.
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评论: 须进一步核实Hermitian矩阵对角化的有关结果(如特征向量的规范).
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小结: 引理1的证明完结.


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1 郑永军

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