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物理学家们会怎样做这道题?

已有 797 次阅读 2019-6-22 13:09 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

 

再撒一把豆子...

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之前讨论了豆子戏法*:在地上随意撒 2n 个豆子,试画一个圆,使得圆内和圆外的豆子数量相等。

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对于 2n 个豆子,考虑 n = 1 的情形,希望从这个特例中找出普遍解。

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这涉及到对 “方” 和 “法” 的理解。简单来讲,“方” 就是 “直角”、“垂直关系” 等情状;“法” 就是与 “方” 相依的直线。为了达成 “方”,必须以 “法” 开路。

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两个豆子如图所示:

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看到两个点,第一个合 “法” 的事件,是将它们用直线连起来。这样就得到一条线段,它有个长度。这条线段还算不上“法”。

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接着,分别以两个豆子为圆心,以那个长度为半径,画两个圆,得到两个交点。过这两个交点作直线。此直线与之前的线段形成垂直关系,并将其分为等长的两段。这条直线即为 “法”。

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这个时候,有了 “方”,也有了 “法”。

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最后,在 “法” 外任取一点 O,测量此点与两个豆子之间的距离,得到 r1,r2。取 r 介于 r1 和 r2 之间。这样,就得到一个圆,它以O为圆心,以 r 为半径,使得圆内外的豆子数量相等。

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上面的这个解法可以自然推广到一般情形。对于 2n 个豆子,两两连线,作出各连线的垂直平分线(“诸法”),在诸法外任取一点O,测量此点与诸豆之间的距离,得到 r1r2, ..., rnrn+1,...,r2n。假定对这些距离已经做过排序(按序号从小到大)。取 r 介于 rn 和 rn+1 之间。这样,就得到所求的圆。

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作为验证,考虑 n = 2 的情形(4个豆子)。假设4个豆子排成正方形(或菱形):

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按照普遍解法,4 个豆子必然落在诸法上,这就自动排除了以豆子作为圆心的可能。(在普遍解中,只要在诸法外任取一点即可。如果有豆子恰好在诸法外,取到它们也不妨事)。

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做上面验证期间,想到了其它可能的做法。特别是,物理学家们会怎样做这道题?

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解法一(理论物理学家):画一个大方框将豆子包括在内,连接大方框的对角线。由于豆子是随意撒的,可以假设为均匀随机分布,这样对角线两侧豆子数量(有很大机会)相等。圆呢?可以设想对角线在一个半径充分大的圆上。

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解法二(材料物理学家):手头有且仅有一个最新纳米魔角材料做的圆,既然半径已经固定了,就把它放到大方框的中间好了,也许圆内外的豆子数量差距大了一些,但这是当前能拿出的最好的解。

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解法三(天体物理学家):在诸豆之外任取一点O,测量此点与诸豆之间的距离,得到 r1r2, ..., rnrn+1,...,r2n。假定对这些距离已经做过排序(按序号从小到大)。取 r 介于 rn 和 rn+1 之间。这样,就得到所求的圆。

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在以上三个物理解中,我更欣赏解法一。忽然在想,不知道量子物理学家们会怎样做?



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