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终结猜想-20-局域变换定理 精选

已有 3041 次阅读 2019-9-5 08:08 |个人分类:追梦|系统分类:科研笔记

 

大家都知道,科研三境界与王国维的治学三境界是相通的。做科研就是做学问,做学问成大事业者,首先要有坚定的信念,执着的追求。需要登高望远,瞰察路径,明确探索的目标与方向,了解所研究的大自然事物的整体概貌。对于三维伊辛模型精确解这个问题,就是要了解其中存在全局性效应以及拓扑学问题。这个根本性问题是纲,纲举目张。当然,追求真理的道路肯定是坎坷曲折的。探索未知世界,开始选择的道路也许是一条不正确的岔路,从而耽误了许多时间和精力,最后只能放弃。这样的过程很有可能会重复很多次。大自然用这样的无功而返考验着探索者的意志力和耐久性。正所谓,书山有路勤为径,学海无涯苦作舟。还有一说,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来。这是每个奋斗者都能够深刻体会的。通常只有经过多次周折、多年磨练后,经过了漫长的瓶颈期,才能到达曲径通幽,山重水复疑无路,柳暗花明又一村。才能豁然领悟,达致最后的成功。此所谓,厚积薄发,功到自然成。

王国维的治学三境界描述的是探索过程中的境界,是与获得结果相关的。关于科学研究的境界,还有一种说法,即科学研究的四个层次第四层次是以科学牟取名利。第三层次是以科学为谋生的手段。第二层次是从科学研究中得到乐趣。最高境界是为科学事业献身或达到忘我。爱因斯坦曾经用这四个境界对一些科学家进行了评价。大呆认为,一个人的人性是复杂的,生活在现实社会中首先需要解决生存的问题,有时候不得不为五斗米折腰,也就是第三层次的境界。每个人都有出人头地,成名成家的念头,也就是第四层次的境界。而从科学研究的探索过程中获得乐趣,也不是非常困难的事情。比较难得的是最高境界,现在很少有为科学事业献身的机会。但是,执着追求,忘我奋斗,确实是科学研究的最高境界。这也不是不可能做到的。大呆认为,一个人在一生不同的时刻可能会处在上面四种境界之一。我们需要努力地提升自己的境界,尽量使自己能够多一些时间在最高境界的状态。特别是在科学研究的探索过程中境界应该处于第三层次或者最高层次。就如同一个电子,尽量处于高能级的激发态,才有可能实现灿烂的迁。我们每个的智力、经历和机会各不相同,无法通过横向比较不同人达到的最高学术成就的高低来评价境界的影响。但是,对同一个人来讲,其学术成就的高低必然是与其科学研究的境界成正相关的。当然,什么是忘我的境界,如何达到忘我的境界,以及如何在忘我的境界中进行科学研究,这些都是没有一定之规的,全凭各个人的修炼和领悟了。

大自然的现象是千变万化丰富多姿的。而我们观察和探究大自然的奥秘,通常是有一定的角度或者顺着一定的路径的。我们每个人接受的教育以及成长的经历是各不相同,获取的物理和数学知识也可能是有局限性的。人类认识大自然的局限性导致我们在探索大自然奥秘时必然要经历一个艰辛和痛苦的过程。对于同一个大自然的现象,不同研究领域的探索者可能会发展出各不相同的理论或者方法。我们需要透过现象看本质,建立不同学科之间的关联,做到融会贯通。第一步是要博闻强记,主动地学习不同领域的基础知识,可以以研究目标为导向(例如,大呆是以求解三维伊辛模型的精确解为目标导向),凡是与研究目标相关的知识都要努力地学习,不论这些知识是属于哪个领域的。第二步,建立不同领域的相关理论的联系,分析其中的相同点和不同点,获得共性的规律以及普适性的理论架构。第三步,是运用不同领域的理论来解决一个问题。大呆就是联合运用了拓扑理论中的拓扑变换和规范理论中的规范变换证明了三维伊辛模型的局域变换定理。

定理三 (局域变换定理)

       可以对三维伊辛模型的每一排的分转移矩阵进行一个局域变换。局域变换改变局部系统的规范,平庸化系统的非平庸拓扑结构,同时在三维伊辛模型的本征矢量上产生拓扑相因子。

定理三的证明过程详见我们的论文。证明过程简单地介绍如下:,

根据定理一,转移矩阵种的许多分转移矩阵相互之间可以被孤立起来。根据定理二,每个分转移矩阵可以被线性化,同时每个分转移矩阵可以被劈开成2n个子空间。当然,问题仍然没有被解决。这是因为:一)在线性化过程中,我们无法如考夫嫚处理二维伊辛模型时那样保持本征值为+1 或者 -1;二)在转移矩阵中存在非平庸的拓扑结构。的确,在分转移矩阵中的矩阵下角标指明存在不同的j格点的键之间的交叉。这在不同的指数因子中显示。

根据拓扑理论(详细见博文 终结猜想-6-拓扑结构和《终结猜想-7-拓扑变换),纽结图的一个态与一个物理系统的能量态类似。可以找到一种方法对系统拓扑变形时保持态结构不变,且将态的不变性质变成纽结和环的拓扑不变量。态的拓扑演化和对态空间的积分对研究纽结和环的拓扑来讲是互补的。拓扑学上,消除一个交叉(x)2种可能性,所以一个具有N 个交叉的图有2N 个态。为纽结和环定义括号多项式,即态求和,与离散统计力学中的配分函数类似,适当地选择对易代数变量,可以被用来表示Potts模型(伊辛模型是Potts模型的特例)的配分函数可以通过一个变换将系统从一个非平庸的拓扑基变换到平庸的拓扑基,反之亦然。只要在系统中存在纽结或者环,无论它们是多么的复杂,总是存在一个变换矩阵(即,一个旋转)的。

所以,我们需要对三维伊辛模型的第j个格点(要对每个j)做一个局域变换G(j)。对每个j都产生一个附加的指数因子,它代表在局域平面内的一个旋转。在对三维伊辛模型的所有j格点进行局域变换后,这个过程将平庸化非平庸的拓扑结构,它将体系的基从一个非平庸的拓扑基变成一个平庸的拓扑基。在进行局域变换之后,在分转移矩阵中每个子空间中的项发生了变化。

在证明猜想的论文中推导的公式中符号对应于因为内因子Wj导致的子空间劈裂(见博文《终结猜想-19-线性化定理),这些符号的组合对应在每个分转移矩阵中的2n个子空间。所有的分转移矩阵中的内因子Wj产生的所有符号的组合对应整个系统中的2nl个子空间(这里忽视了边界因子 的贡献)。在局域变换之后,每个部分对应一个自由费米问题的子空间。进一步地,三维伊辛模型的分转移矩阵可以被处理成eqGG/2因子的乘积,成为在局域平面上的旋转。在所有的分转移矩阵的直乘形成的 2nl 个子空间中,最大本征值仅仅存在于一个子空间中。很显然,我们可以选择所有j的指数因子都具有正号的一个子空间作为系统的最大本征值,因为它有最大的贡献(见博文《终结猜想-17-两大原则》)。实际上,我们可以重新安排这些分转移矩阵以及单位矩阵的顺序,在一个子空间去收集所有分转移矩阵的基本元素(至少,对具有最大本征值的那个子空间),以致方程(14)中的乘积可以被扩展成从1nl,并且保持迹不变。

下面我们将详细地讨论局域变换以及拓扑相因子。

首先,可以从二维伊辛模型的本征矢量构建三维伊辛模型的本征矢量,因为后者应该包含前者,并且可以退回到二维。所以,三维伊辛模型的本征矢量具有下面的形式,它在自旋表象的2nl空间。当我们对转移矩阵增加k (= nl(o-1))项单位矩阵的直乘(见定理一,见博文《终结猜想-18-迹不变定理),我们已经将三维伊辛模型的维度扩展到 (3+1) 维。同时,体系在自旋表象的本征矢量扩展到更高的维度,以致我们拥有四元数形式的本征矢量,它表示在自旋表象的2nlo空间。.

对每个分转移矩阵的每个j 格点做局域变换,对所有的分转移矩阵都进行这样的局域变换以致覆盖三维伊辛模型的所有格点。情况非常类似于黎曼曲面,在那里局域曲面可以被处理成在一个局域坐标框架中一个可以操作旋转的平面。因为存在非平庸的拓扑结构,三维伊辛模型作为一个整体可以看成一个黎曼曲面。当然,每个分转移矩阵是一个准二维体系,以致我们可以在一个局域坐标框架中操作一个平面内的旋转。局域变换可以通过monodromy表示产生一个拓扑相因子。局域变换可以从一个规范变换映射而来。三维伊辛模型实际上是一个三维晶格规范理论的对偶模型(由于规范理论是一个非常高深复杂的理论,科普规范理论不是本系列博文的任务),在其中我们可以进行一个翻转与n格点相连的边上的所有自旋的规范变换G(n),并且保持作用量不变。规范变换通过操作改变自旋 ,其中 , 同时在体系的波函数(或者场)上产生相因子。这里,最紧邻差值算符定义为  为定义在三维伊辛规范晶格上的一个任意标量,它与原始的三维伊辛模型晶格对偶,并且在每个晶格点上取值0 或者p。因为对偶性,在三维伊辛模型每个j格点上的局域变换以及其组合可以被等价为在三维伊辛规范晶格模型中n格点上的规范变换,反之亦然。局域地并且连续地作用在三维伊辛模型的每个分转移矩阵上的局域变换打开由泡利矩阵表示的纽结。所以,将体系从一个非平庸的拓扑基转变成一个平庸的拓扑基,与拓扑理论相吻合这种局域变换(即一个旋转)由一个具有旋转角的附加矩阵表示,它是内禀地、自发地存在于系统中的。对转移矩阵V = V3V2V1进行一个局域变换的同时在三维伊辛模型的本征矢量上产生拓扑相因子,并且保持作用量(拉格朗日)不变,它对应于三维伊辛规范晶格理论中的相因子本征矢量变成

定理三提供了一个方法,将三维伊辛模型的非平庸拓扑结构平庸化,并且同时计及非平庸拓扑结构对三维伊辛模型的配分函数、自由能和热力学性质的贡献。在三维伊辛模型中产生的拓扑相因子起源于复数投影希尔伯特参数空间的非平庸性质,它等价于在参数空间的一个规范势,由路径的整体几何决定。

需要注意的是,线性化过程和局域变换可以被同步地或者按顺序地进行。很清楚,在局域变换之后,在转移矩阵V' 中的所有因子仅仅包含G矩阵的二次项。即,具有G矩阵高次项的转移矩阵V 被平庸化。所以,转移矩阵V' 包含仅仅费米高斯项,变成可对易。我们能够运用广义的杨-巴克斯特方程或者所谓的四面体方程对易转移矩阵V'(U) V'(V) 的所有因子(详细见终结猜想-8-杨-巴克斯特方程终结猜想-9-四面体方程)。因而,系统变成可积的。

对于局域变换可以做一个形象的比喻:三维伊辛模型中的转移矩阵V包含三个转移矩阵V1V2V3第一个转移矩阵V1代表一个官老爷,第二个转移矩阵V2代表一个官太太,但是官太太不能怀孕。代表二维伊辛模型体系不存在内因子以及其代表的非平庸拓扑效应。第三个转移矩阵V3代表一个姨太太,姨太太怀孕,拥有三维伊辛模型特有的内因子以及其代表的非平庸拓扑效应。十月怀胎,一朝分娩,生出一个小少爷。经过局域变换,三维伊辛模型的转移矩阵V'中包含了四个转移矩阵V'1 V'2 V'3 V'4。官老爷家添人进口,从三个人变成四个人。这里有一个有趣的现象,由于对称性原则,那两个女人,无论是谁当官太太或者姨太太,仅仅姨太太可以怀孕。交换两个女人的地位,不改变生出一个小少爷的结果。这一出官场喜剧的结局是皆大欢喜。

       定理三的证明结合了拓扑学理论和规范变换理论,也表明这两大理论在本质上是有紧密的联系的。可以说,基本上大功告成。但是,在三维伊辛模型精确解的求解过程充满的艰辛和曲折,无法在博文中道尽。也可以说,挑战与机遇并存。一个不小心就可能在阴沟里翻船。在论文投稿送审过程中与审稿人又进行一轮辩论。在电光火石的瞬间大呆与反对方又进行了一次生死较量。我请大家继续欣赏其中的精彩,关注:终结猜想-21-再度交锋

参考文献(三维伊辛模型精确解研究三部曲):

  1. 提出两个猜想:Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

  2. 初探数学结构:Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

    https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

  3. 证明四个定理:Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2

 



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