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终结猜想-19-线性化定理 精选

已有 3041 次阅读 2019-8-29 08:11 |个人分类:追梦|系统分类:科研笔记

 

科学研究如同盲人摸象,几个盲人摸到一个大象,可能会根据自己摸到的部位(如鼻子、尾巴、身体、腿,分别想象出不同物体(如弯弯的管子、细细的棍子、一堵墙、粗粗的柱子)。之前的一些研究工作,如高温展开、低温展开、重整化群、蒙特卡罗方法等都是盲人摸象,故得到都是不完整的信息。为了完全地解决问题,我们必须全面地分析问题,从而精准地解决问题。特别是,在三维伊辛模型的转移矩阵中存在的内因子是一个非平庸的纽结问题,是一个具有全局性的效应,必须从全局的角度解决问题。我们前面的分析为我们的进一步研究打下了很好的基础,提供了代数、拓扑、几何等方面的研究基础。

胡适说过:“大胆假设,小心求证。”这道出了做学问的真谛。科学研究就是要大胆假设,小心求证。无论是大胆假设,还是小心求证,都是不容易的事情。当然,两种困难不是一类的困难。前者需要丰富的想象力,在物理的空间里天马行空,纵横驰骋。后者需要严密的逻辑和数理基础,小心谨慎地运用数学公式一步步地证明,从头到尾一路等式。在证明猜想的研究的过程中,经历了许多曲折的过程,尝试了许多可能的方案。在探索过程中一直有一种不通的感觉,心里堵得慌,脑袋浑浑噩噩,总是有一团迷雾没有消散。对于三维伊辛模型的转移矩阵的非线性项的线性化问题,我们一直想对这个内因子进行一个变换,将非线性项去除掉。我曾经设想一个方案,将它改写成矩阵的一种特殊形式,甚至为此我和铃木理教授还发明了一套新的矩阵的代数方法。实际上,证明猜想的论文几年前就成稿了,我一直不放心,把稿子多放一放,私下里找了几位国际同行(包括理论物理学家和数学家)审阅,请他们提意见。Julian Lawrynowicz教授认为这个方案需要添加反纽结矩阵,改变了系统。想起以前在日本访问时,铃木理也曾经提及过这一点(见博文《终结猜想-12-求索之旅),所以,我从善如流,忍痛割爱,果断地决定放弃我们发展出来的矩阵的新算法的方案。这一下我们好几年的努力付之东流,又面临一个僵局,实际上又回到了原点。心里的郁闷和失落就不必说了。一时间心里拔凉拔凉的。好在,大呆是一个打不死的小强,无论遇到什么困难,获得成功的信心没有失去。经过苦思冥想,我灵光一现,意外地发现,内因子实际上具有与边界因子相同的性质,可以利用在二维伊辛模型中处理边界因子的方法来处理内因子。这真是皇天不负有心人。

实际上,这里一直有一个误区限制了我的思维。因为Perk教授在他的第一篇Comment中指出在我的猜想论文中的转移矩阵存在一个技术性的错误,仅仅考虑了在三维伊辛模型中存在边界因子的贡献,没有考虑在每个格点上存在的内因子的贡献。他一直在强调内因子与边界因子的不同,所以我也就没有意识到两者具有本质上的相同之处。其实,不同的仅仅是因为过多的内因子导致算符的不对易性问题。如果不考虑算符的不对易性(或者说,如果能够处理算符的不对易性),内因子与边界因子的性质是一样一样的,完全可以用求解二维伊辛模型时处理边界因子的方法处理三维伊辛模型的内因子。由于在三维伊辛模型中可以利用四面体方程解决算符的不对易性问题(见博文《终结猜想-9-四面体方程》),也可以利用约当代数来处理这个问题(见博文《终结猜想-4-约当代数》),我也就没有把这个不对易性问题放在心上。

定理二的证明过程充满了曲折,在这方面堵塞了好几年,一直不通畅。这样,一下子菩提灌顶,感觉豁然开朗。其过程很好地诠释了王国维的治学三境界之“众里寻他千百度,回头蓦见那人正在灯火阑珊处。”而达到这一境界之人,必然是经过多次周折、多年磨练后,“昨夜西风凋碧树,独上高楼,望尽天涯路。” “衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴。”才能厚积薄发、功到自然成。豁然领悟,达致最后的成功。在探索过程中有这种醍醐灌顶的感觉十分难得,可谓突入彻悟途径,顿悟真理,达到超凡脱俗的境界。突破瓶颈桎梏之后,只感觉神清气爽,真理原来如此。

定理二 (线性化定理)

可以对三维伊辛模型的每一排的分矩阵进行一个线性化过程。局部地,每一排的分矩阵中的非线性项可以被线性化。

定理二的证明过程详见我们的论文。证明过程简单地介绍如下:,

解决三维伊辛模型问题的关键一步是如何将转移矩阵V中的非线性项线性化。因为对每个不同的jG矩阵具有不对易的性质,将G矩阵的非线性项作为一个整体线性化变得非常困难。幸运的是,根据定理一,三维伊辛模型的每一排与其他排已经脱耦合。我们可以尝试对三维伊辛模型中的一排的分转移矩阵独立地进行一个线性化过程。考虑到对转移矩阵V沿着一行(m 个晶格点)方向已经进行的周期性边界条件,一个分转移矩阵代表一个二维伊辛模型 (nm个晶格点) 与其最紧邻平面之一相互作用。三维伊辛模型的内因子Wj 具有与二维伊辛模型的边界因子 U 非常相似的形式。所以,我们能够从考夫嫚(Kaufman)处理二维伊辛模型边界因子 U的方法发展出一个处理三维伊辛模型的内因子Wj的方法。

考夫嫚发现,我们可以将二维伊辛模型的转移矩阵V分解成为如 eqGG/2那样的因子的乘积,它被解释为在直乘空间的具有旋转角q的二维平面旋转。二维伊辛模型的转移矩阵V分解成为两片子空间,对应于因子这里U=C1C2….Cn = G1G2G3G2n 是边界因子。在具有周期性边界条件的二维伊辛模型,带有U 的投影算符将空间劈开成两部分,一半为具有周期性边界条件的自由费米问题的状态,另外一半是具有反周期性边界条件的另外一个自由费米问题的状态。然后在这两个空间里选择本征值。 

对于三维伊辛模型,除了边界因子(它们与二维伊辛模型的U 相同,就是数量多了许多), 如何处理转移矩阵V3中的内因子Wj成为关键。我们发现,内因子Wj具有与边界因子相同的特征,可以用考夫嫚处理二维伊辛模型边界因子 U的方法线性化。当然,对于分转移矩阵,有n 个项带有Wj 根据考夫嫚的结果,我们处理其中的内因子(作为投影算符)可以得到2n 空间。过程中算符的不对易性可以利用约当代数的乘法约当-·诺依曼-维格纳机制的框架中处理(见定理四:对易性定理)。在一个子空间里分转移矩阵是线性的。对所有的2n 空间都是如此。对于其它空间,在Wj / 之前的一些符号可能为负的。可以对所有的分转移矩阵进行相同的过程,这导致在许多子空间里的许多本征值。所以,三维伊辛模型的转移矩阵V 可以被线性化并且分解成 2lx(2x2nl) 片子空间,对应于投影算符,   , 其中  为边界因子以及Wj 为内因子。通常,在热力学极限下我们可以忽视边界因子,子空间的片数可以简化为2nl。当然,仅仅其中之一将产生最大本征值。根据最大本征值原则,它在热力学极限条件下控制配分函数(见博文《终结猜想-17-两大原则》)。

定理二提供了一个在二维流型(平面)处理三维伊辛模型的方法。线性化的代价是劈开成了许许多多的子空间,三维伊辛模型的全局的非线性转变成在子空间里的线性,但是整体上的非线性特性仍然保持。在整个空间无法进行的平面旋转,分解成在一系列局部坐标(子空间)中的平面旋转。

对于一个非线性体系,不存在对应的李群结构,不支持一个平面内的旋转变换。而李群结构相关的平面旋转变换在求解二维伊辛模型精确解的过程中至关重要。在第一定理证明之后,我们获得的是一个黎曼球面,不是平面。通过第二定理的证明,我们将体系切割成许许多多的小的平面。在这些小平面内部,局部存在李群结构相关的旋转变换。就好比,我们地球是一个球面,但是在我们具体生活的小区,我们可以将地面看成是一个平地。许许多多的平面整合起来就构成了我们生活的具有弯曲表面的地球。我们可以想象,在一颗绕地球转动的人造卫星上,用照相机对地球表面拍照,每个照片拍到的地面区域可以看成是一个平面,将许许多多张照片组合到一起就可以构成我们的地球的整体信息。这就是,线性化定理的意义所在。

请大家继续关注下一回:终结猜想-20-局域变换定理

参考文献(三维伊辛模型精确解研究三部曲):

  1. 提出两个猜想:Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

  2. 初探数学结构:Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

    https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

  3. 证明四个定理:Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2

 



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