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终结猜想-17-两大原则 精选

已有 3341 次阅读 2019-8-12 08:33 |个人分类:追梦|系统分类:科研笔记

 

对称性在自然界无所不在,从晶莹剔透的雪花的六角对称,各种植物的美丽花朵的对称花瓣,圆形的树干,对称的树叶,到我们三维空间的对称性,晶体中的结构对称性等等。动物以及我们人类的身体也具有左右对称。从几何形状上,二维的正三角形、正方形、正五边形、正六边形,。。。一直到圆形;三维的正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体,。。。一直到球体。圆形和球体在这些几何形体中具有最高的对称性。几何对称性又分为旋转对称性、平移对称性、反演对称性、镜面对称性等。在我们日常生活中使用的物体都具有一定的对称性,例如,桌椅板凳,锅碗瓢盆,收音机、电视机、冰箱、计算机、汽车、飞机等等,不胜枚举。在晶体中晶格的周期性排列的平移对称性限制了旋转对称性的种类(仅仅有2次、3次、4次、6次旋转对称性)。当然,在准晶体中的准周期性允许5次、8次、10次旋转对称性。在晶体中存在7大晶系、32点群和230个空间群,考虑到自旋的排列,还有磁性群。固体中电子的能带结构同样满足体系的对称性,导致物质的物理性能具有各向异性或者各向同性。无论体系的物理性能具有各向异性或者各向同性,都是体系的对称性的体现。在物理学的许多公式中都存在时间反演对称(热力学箭头除外),物质之间的相互作用大都具有宇称守恒对称性(弱相互作用除外)。音乐家作曲,画家作画、诗人写诗、雕塑家雕塑,建筑师建造大楼通常都要遵循对称性原则(追求不对称之魅力的是一些特例)。例如,北京的故宫、印度泰姬陵、法国的凡尔赛宫等都遵循对称美的原则。除了空间上体现的几何对称性,我们还能够感受时间对称性,白天黑夜的交替、四季变化的周期性,以及一些周期性变化的运动体现时间对称性的存在。通常一个物理系统中的一种对称性对应着一种物理量的守恒定律。对称性的破缺通常对应着一个相变的发生。例如,从高温的无序到低温的有序相变对应着从高对称性到低对称性的变化

诺特定理指出,如果运动规律具有一种对称性,必相应地存在一条守恒定律。运动定律的空间平移对称性导致动量守恒定律,时间平移对称性导致能量守恒定律,空间旋转对称性(空间各向同性)导致角动量守恒定律。麦克斯韦方程组中的电磁规范变换群U(1)对称性对应于电荷守恒。洛伦兹变换的对称性对应于爱因斯坦相对论的物理规律的同时性。上述对称性与守恒量之间的关系在量子力学范围内也成立。在量子力学和粒子物理学中,又引入了一些新的内部自由度,认识了一些新的抽象空间的对称性以及与之相对应的守恒定律。例如弱相互作用系统的同位旋空间的SU(2)对称性对应于同位旋守恒,强相互作用系统的夸克场的SU(3) 对称性对应于体系的荷守恒。对称性和守恒定律取决于相互作用的性质,相互作用类型不同有不同的结果。例如强相互作用和电磁相互作用下,粒子的运动具有空间反演对称性。空间反演对称性导致宇称守恒。然而在弱相互作用下,粒子的运动不存在空间反演对称性和宇称守恒。

对于一个世界性物理学难题,没有任何参考答案,甚至任何可以参考的目标,其探索过程如同雾中攀岩,道路充满艰辛曲折,不知道山顶在何方,只能在摸索中向着上方攀爬。透过重重迷雾,需要在迷雾变淡一闪即逝的瞬间,发现山峰的位置,以知道后面继续前进的方向。尽管在前进的道路上是迷雾重重,作为攀登者,除了具备在迷雾中辨别方向的能力。还需要具有坚定的信念,对探索的过程有一个总体的规划,对前进的方向有一个总体的认识,从而能够从宏观上把控整个探索的过程,以免探索偏离正确的路线而以失败告终。对于三维伊辛模型精确解,尽管我们不知道解的具体形式,但是我们根据二维伊辛模型的精确解的形式,可以从系统的对称性出发,对三维的解有所思考。一方面,三维的解在二维极限条件下必须能够退回二维的精确解。另一方面,对称性应该是指引求解过程的一个重要因素。一个解的对称性应该反映体系本身的对称性。一个解的对称性通常与美挂钩。所以,实际上美也是一个评价标准。因为大自然本身是美的,所以一个精确解应该遵循美的原则。当然,一个公式美丽不美丽,在数学上有其特定的美学结构。这也取决于科学家自身对美的感知能力和欣赏水平。从这一方面考量,理工男要加强人文知识的学习以及美学的熏陶。

 对称性原则: 三维伊辛模型的精确解由满足系统的对称性的基本形式构成。

首先,三维伊辛模型的对称性要求转移矩阵V2 V3 对精确解有相同的贡献。无论哪个晶体学方向被选择为第二或者第三维度,精确解必须保持不变。如果选择方向作为第二个晶体学方向,内因子(即非线性项)将出现在转移矩阵V2中。实际上,如果我们通过一个非线性变换将转移矩阵V3线性化,转移矩阵V2将变成一个非线性项。我们认为,三维伊辛模型的精确解是自然而然地存在的,它的形式不依赖于我们人为的对晶体轴的选择次序。尽管高次项无法从转移矩阵中去掉,我们可以确认它对精确解的贡献仅仅是一个标度因子,这是因为线性项可以在转移矩阵 V2 或者 V3中出现。非线性项也可以在转移矩阵 V2 或者 V3中出现。所以,非线性项可以转化为线性项。这一对称性指明,三维伊辛模型的精确解应该具有与二维伊辛模型精确解相似的形式的基本形式 [考虑到对称性,也可以写成的基本形式]。这些形式满足非线性变换下的对称性要求。进一步地,如果  或者 变为零,精确解退化为二维伊辛模型的精确解。

在物理上,如果两个粒子是相同(全同粒子),它们的物理量,如哈密顿量或者拉格朗日应该在交换粒子时保持不变。以上关于三维伊辛模型的对称性的讨论,实际上是遵循一个原则,三维伊辛模型空间上的对称性,一旦确定了坐标轴x,坐标轴yz是等价的,交换坐标轴yz的顺序,不改变体系的能量的表达式,也就是说在交换坐标轴时能量守恒。对称性原理广泛地应用于物理学的理论的建立,如爱因斯坦的广义相对论和Yang-Mills理论,并且被用来判断体系的产出(结果)的正确性,用对称性限制物理系统的精确解的存在形式。在三维伊辛模型精确解的求解过程中,对称性原则起到一个指引作用。用最简洁的方法初步确定了精确解的表达式的基本元素,同时对证明猜想的过程也有启发性,对非线性项对能量的贡献有了一个清晰的限制(即无论转移矩阵中的内因子是如何复杂,其贡献就是增加一个标量系数)。这再一次地显示了对称性原则在解决物理学难题中不可替代的作用。

另外,我们在求解过程还发现一个非常重要的性质,最大本征值的作用。在三维伊辛模型的求解过程存在许多本征值,但是在热力学极限条件下,只有最大本征值对物理性质做出决定性贡献。这样,我们可能忽视其他本征值的贡献,极大地简化求解过程。昂萨格和考夫嫚在求解二维伊辛模型时发现了最大本征值原则。他们通过公式表明,考虑了所有本征值的解和仅仅考虑最大本征值的解在热力学极限条件下是一致的。但是他们仅仅是证明了这个原则,并没有在求解过程中使用。我们在求解三维伊辛模型精确解的过程中直接应用了最大本征值原则。所以。在进行我们的求解过程之前,我们首先强调指引我们求解过程的第二个原则:

最大本征值原则:在热力学极限条件下,仅仅最大本征值对三维伊辛模型的配分函数有决定性的贡献

这个原则是很显然的。因为配分函数正比于 之和(见方程(2)),在热力学极限条件下(m趋近于无限大)仅仅转移矩阵V的最大本征值起决定性的作用。昂萨格和考夫嫚讨论了最大本征值,发现二维伊辛模型精确的配分函数与仅考虑最大本征值的近似没有很大的区别。对三维伊辛模型,存在相同的原则。我们不仅利用昂萨格和考夫嫚的方法用最大本征值找到与二维伊辛模型相似的公式,而且利用这个原则实现局域变换。线性化过程、局域变换与最大本征值原则相结合表明,在转移矩阵V中的非线性项对三维伊辛模型的精确解贡献一个标度因子以及产生拓扑因子。前者与上面从对称性原则获得的结果相一致。

我们可以用下面的例子来形象地理解最大本征值原则的应用:如果我们面对一个问题,求解地球上所有山峰的高度之和,我们需要在地球表面搜索所有的山峰,测量每个山峰的高度,进行求和。如果我们面对一个问题,求解地球上所有山峰的高度的N次方之和,并且N趋近于无限大,我们仅仅需要测量出地球上的最高峰珠穆朗玛峰的高度,答案就是珠穆朗玛峰的高度的N次方。与之相比,地球上其它所有山峰的高度的N次方之和都可以被忽视。这样问题变得异常简单,我们仅仅需要测量出珠穆朗玛峰的高度。从这个例子,我们可以看出,最大本征值原则可以极大地简化三维伊辛模型精确求解的过程,威力巨大。实际上,在求解过程中如果我们不应用最大本征值原则,无法求解三维伊辛模型的精确解。因为三维伊辛模型的本征值有无限多个,并且存在许多正负符号的组合问题,远比二维伊辛模型复杂,对无限多个本征值的N次方求和,是一个不可能完成的任务。

对称性原则和最大本征值原则,这两大原则非常重要,它们如同两盏指路明灯,照亮我们前进的道路,帮助我们突破前进道路上的重重迷雾,向着正确的方向前进。

在后面的几篇博文,我们将介绍证明的四个定理。请大家关注下一回:终结猜想-18-迹不变定理。博文的更新时间为22日(下周四),仍然是每周四张贴一篇博文。

参考文献(三维伊辛模型精确解研究三部曲):

  1. 提出两个猜想:Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

  2. 初探数学结构:Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

    https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

  3. 证明四个定理:Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2

 



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