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终结猜想-18-迹不变定理 精选

已有 1919 次阅读 2019-8-22 07:47 |个人分类:追梦|系统分类:科研笔记

 

我们小时候做过拼图游戏,将许多拆分的小图片拼接成一个完整的图形。科研有时象做一个拼图游戏。不同之处是拼图游戏中儿童可以照着一张图来拼,可以说预设了答案的。而在科学研究的探索过程中往往是未知答案的,甚至是有没有答案都具有不确定性。拼图可以不按照逻辑顺序,可以翻来覆去地拼图,可以今天拼一块,过几天再拼一块。可以以一块为基础不断地往上添加新的图片,直到拼出来完整的图形为止。也可以同时拼几块,然后将拼好的几个部分再拼接成一个完整的图形。在这个过程中甚至允许出错,有时候信心满满地以为拼对了许多块,继续向前走。回头发现有些地方出错了。没有关系,纠正错误,继续向前。如果因为一个地方卡住了而不向前进,可能就被彻底地卡住。当然,贵在坚持,只要有胜利的信心,坚持到胜利总是能够笑到最后的。在拼图过程中可以不讲究逻辑和顺序,但是在最后呈现结果时需要给出一个完整的信息,符合逻辑的结果。迹不变定理是在我的证明猜想的论文中呈现的第一个定理,但是却不是在研究过程中第一个被证明的定理。在探索过程中的次序可以不按照逻辑,但是在最后呈现结果时要按照逻辑表述。我一直将注意力集中在如何解决转移矩阵中的内因子导致的非线性问题以及如何打开纽结,也就是如何证明线性化定理和局域变换定理,一直没有意识到增加一维还需要证明。尽管一直有一点疑惑,增加一维是不是改变了系统的性质?我心里清楚,增加的一维是时间维度,不是空间维度,应该不改变系统的性质。但是,这仅仅是一种感觉,或者说是物理直觉,不是严格的数学证明。由于我一直在把玩转移矩阵以及矩阵的直乘,有一天,我豁然开朗,从矩阵的直乘的性质领悟到,我可以证明增加一维确实不改变系统的物理性质。这就是迹不变定理。

在我的第一个猜想中,我提出三维伊辛模型的拓扑学问题可以通过在四维空间引入的一个附加的旋转来解决,其原因是在三维空间的纽结可以用四维空间的旋转打开。针对三维伊辛模型,可以在高维度的自旋表象空间以及旋转变换空间进行这种旋转。同时,自旋表象矩阵及其对应的旋转矩阵将在这种高维的空间重新排列和表示。但是,如何扩展维度?这是个技术活儿,具体地如何操作?如何将自旋表象矩阵及其对应的旋转矩阵在高维的空间里重新排列和表示?既要扩维,又要不改变系统性质。在提出猜想之后,这个问题卡了我近十年,可以说百思不得其解。有一天,突然顿悟,求解三维伊辛模型的精确解主要是研究配分函数,实际上是求的是转移矩阵的迹。而三维伊辛模型的配分函数以及其转移矩阵是一系列矩阵的直乘,我们可以利用矩阵的直乘的性质,增加单位矩阵的直乘来扩展维度,同时抵消掉一个因子,保持矩阵的迹不发生改变。也就是研究的系统物理性质不发生改变。正所谓,踏破铁鞋无觅处,得来全不费工夫。

从证明猜想的论文中的方程(1) – (5)(A1)-(A11)我们显示了如何从三维伊辛模型的哈密顿构建配分函数。从方程 (A4)可见,对于转移矩阵V1泡利矩阵C e指数的直乘与矩阵Cje指数的乘积相等。从方程(A8)(A11)可见,对转移矩阵V2(或者V3)存在相似的等价性。很显然,转移矩阵V3的情况与其他两个转移矩阵V1 V2:的情况类似。在开始时,它们都从泡利矩阵的e指数的直乘公式出发。我们将显示,通过利用矩阵直乘和迹的数学事实,我们可以克服求解三维伊辛模型的困难,以致我们能够分别处理三维伊辛模型的每一行。

我们有下面的定理:

定理 (迹不变定理)

  当在原始的转移矩阵中的直乘增加k项单位矩阵,三维伊辛模型的配分函数改变一个因子2k 可以通过除法抵消这个2k因子,以保持迹不变。调节单位矩阵与其他矩阵的次序可以分隔转移矩阵中不同的行的e指数因子 (每行包含 n 个晶格点)。每行的e指数因子 被单位矩阵隔离开来,以致它们可以被看成转移矩阵的分矩阵而被分别处理。

定理一的证明过程详见我们的论文。

这里我们仅仅展示一下矩阵的直乘的定义以及其重要的性质。

我们有两个矩阵AB,分别定义为:

AB两个矩阵的直乘为:

在我们的论文的附录中我们给出了矩阵直乘的许多性质,其中一个就是,如果将A矩阵变成单位矩阵,我们有:可以见到,一个单位矩阵直乘B矩阵等于沿着矩阵的对角线再复制一个B矩阵。一个矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和。可见。单位矩阵直乘B矩阵之后,矩阵的迹是B矩阵的迹的2倍,为2(b11+b22)。所以,只要我们除以2,补偿掉这个因子的影响,就能够保持单位矩阵直乘B矩阵前后矩阵的迹不变。

如果将B矩阵直乘单位矩阵,我们有 。

矩阵的迹为2(b11+b22)。也就是说,改变单位矩阵的位置不改变矩阵的迹。矩阵和矩阵的迹相等。我们也可以证明以及其他的一些矩阵直乘的性质。充分地利用这些矩阵的性质,并且发挥到极致。例如,我们可以添加许许多多个(甚至无限多个)单位矩阵的直乘以及调整这些单位矩阵在转移矩阵中的位置,将转移矩阵进行“切割”,分割成许多分转移矩阵,同时保持转移矩阵的迹不变。也就是保持系统的配分函数和自由能不变。然后,我们就可以分别针对每个分转移矩阵进行变换以及一些技术处理,获得每个分转移矩阵的结果后,再将分转移矩阵的结果通过直乘结合起来。

通过添加许多的单位矩阵、调整其位置,同时保持迹不变(定理一),我们实际上执行了一个脱耦合过程,它将转移矩阵中的分转移矩阵相互隔离开,以致我们能够试图分别对每一排(实际上,考虑到我们已经做了一个周期性边界条件,这对应一个平面)以及其相互作用的最紧邻排(或平面)的分转移矩阵进行对角化。这意味着,我们可以在二维极限下处理每个分转移矩阵。定理一确认在我的猜想论文中建议的下列事实:1) 三维伊辛模型可以在(3+1)维度框架中描述。2) 三维伊辛模型的精确解具有二维伊辛模型昂萨格的精确解的特征。

定理一的意义是: 定理一提供了一个方法,首先扩展三维伊辛模型的维度为(3 + 1) ,然后将三维伊辛模型化简,以致将伊辛模型在二维流形(平面)隔离开来,成为可以精确求解的问题。与此同时,这个过程维持体系的物理性质(例如,转移矩阵的迹、配分函数、自由能和热力学性质)不变。 这个方法使我们可以应用昂萨格和考夫嫚为二维伊辛模型发展的一些方法。

这个过程就好比,我们面对一团硬的死面疙瘩(原来的三维伊辛模型的转移矩阵),我们通过加入水的办法(加入单位矩阵),将面团和稀以及增大(扩展为3+1维),再将面团摊开成面片,然后将大的面片切割成许多小的面片,分别处理,做成一锅面片汤,整个过程中面的性质以及数量没有改变(也就是说三维伊辛模型的物理性质保持不变)。迹不变定理完美地回答了增加一维是不是改变三维伊辛模型的物理性质这个问题。证明这个定理没有用到非常高深的数学,也没有发展出新的数学工具,仅仅简单地应用了矩阵的直乘的性质。构思巧妙,简洁明了。证明的过程充分地说明:非常复杂的问题可能有意想不到的简单的求解方法。大自然往往是出乎意料的简单。简单往往就是美,从这个简单的证明我们也能够体验到大自然的一种美。这种美与黄金解有异曲同工之妙,可能更加形而上。

下一回《终结猜想-19-线性化定理》介绍第二定理的内容和证明过程,请大家关注。

参考文献(三维伊辛模型精确解研究三部曲):

  1. 提出两个猜想:Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

  2. 初探数学结构:Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

    https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

  3. 证明四个定理:Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2

 



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