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终结猜想-7-拓扑变换 精选

已有 4453 次阅读 2019-5-30 08:09 |个人分类:追梦|系统分类:科研笔记

 

拓扑学与代数、几何一样是一门基础性的学科。拓扑学是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。最近的研究显示,拓扑学与材料物理、材料性能的联系越来越紧密。可以说,拓扑学的概念正在应用于越来越多的学科领域。在越来越多的材料中发现拓扑学的贡献。特别是,量子力学中波函数的拓扑相因子与许多著名的物理现象相联系。例如:Aharonov-Bohm效应、Berry相效应、Josephson效应、量子霍尔效应、de Haas-van Alphen效应等均与拓扑学密切相关。所以,拓扑学也发展成为联系许多学科方向的纽带,促进了学科交叉和各学科的发展。深入研究三维伊辛模型中的拓扑结构与磁性和其他物理性能的关系,不但是解决三维伊辛模型精确解的关键,而且可以深入理解拓扑结构对材料物理性质的贡献。

拓扑学是数学的三大分支之一,其中的概念和定理五花八门,特别是代数拓扑、几何拓扑等理论非常繁杂高深,大呆的数学基础无法对其中的奥秘做深入地探究,更不可能详细地科普相关知识。我仅仅介绍拓扑学的一些简单的概念以及求解三维伊辛模型所用到的拓扑学知识。可以说仅仅是拓扑学的皮毛,蜻蜓点水而已。但这对求解我所关心的问题也就足够了。如果有数学家对相关问题感兴趣,可以在拓扑学的研究方面做更深入的探究。

拓扑学的一个重要概念是纽结。通俗地讲,一个圆圈是一个平凡的纽结,也就是"没有结的纽结"纽结是一个解不开的圆圈。最简单的不平凡的纽结是三叶结。纽结存在在我们的日常生活中,例如:儿童游戏用一个绳索和双手十指编出不同花样的纽结。水手用绳索打结固定船舶。一个吞云吐雾的烟鬼嘴中吐出的烟圈。我们中国人熟知的中国结。。。

当然,系统地研究不同的纽结的形状和性质的仍然是西方科学家。这个回合出场的是彼得·格思里·泰特(Peter Guthrie Tait1831428 –190174)是一位苏格兰数学物理学家,热力学的开拓者。他与开尔文(Kelvin)合著数学物理专著Treatise on Natural Philosophy。泰特的著名工作包括他在纽结理论方面的工作,他尝试用公式来描述拓扑结构从而实现数学秩序。当时,原子的概念以及量子力学、相对论都还没有被提出。泰特试图理解构成世界的基本元素,他认为在以太中存在着翻转涡旋的纽结就是构成我们物质世界的元素。由于相对论的提出,我们已经知道以太不存在。而原子物理学和核物理学以及量子力学的大发现,我们也已经知道原子、原子核、电子、夸克等才是构成我们物质世界的基本元素。所以,泰特对世界基本元素的认识是错误的。当然,他的努力和探索也没有完全白费,他对不同纽结的研究成为拓扑学和图论领域的知识宝库。正所谓,有心栽花花不开,无心插柳柳成荫。  

纽结是三维空间中不与自己相交的封闭曲线,即与圆周同胚的图形。两个纽结等价是指存在三维空间本身的一个形变,把其中一个纽结变为另一个。关于纽结的理论的根本问题是研究纽结的等价分类,区分不等价的纽结。因此它是研究曲线在三维空间中安放方式的差异,而非研究曲线本身的差异。因为任意两纽结均同胚于圆周,在同胚的意义下,它们是无差异的。1833C.F.高斯引进的闭曲线的环绕数是纽结理论的基本工具之一。

要证明两个纽结等价,只要能作两个模型,想办法把一个形变为另一个即可。如何形变纽结?拓扑学上有零移动和Reidemeister移动I, II, III

     简单地介绍一下拓扑学的Reidemeister移动I, II, III

Reidemeister moves

Reidemeister move 1.svgFrame left.png

Reidemeister move 2.svgFrame left.png

Reidemeister move 3.svg

Type I

Type II

Type III

 

Modified Reidemeister move

Reidemeister move 1 prime.svg

Type I'

在数学领域中的拓扑学理论中,一个Reidemeister移动对应于在一个纽结图中的三种局域移动之一。Kurt Reidemeister (1927),独立地, James Waddell Alexander Garland Baird Briggs (1926)分别展示属于相同纽结的两个纽结(在同胚的意义下)可以由一系列的三种Reidemeister移动联系到一起。它们用在纽结图的微小区域,具体的操作如下:

  1. 在任一方向捻和反捻.

  2. 移动一个环完全地跨越另外一个.

  3. 移动一个弦完全地跨越另外一个或者在其下面

有关Reidemeister 移动的一个重要内容是定义拓扑不变量。当我们要用任何一个Reidemeister 移动展示一个纽结图的某个性质没有改变,就定义了一个不变量。可以定义许多重要的不变量,例如Jones多项式。仅仅第I类移动改变图形的纽数(writhe),而仅仅第III类移动不改变图形的交叉数。在进行这几种移动时,纽结的图形发生变形(交叉的上下位置发生变化),但变形前后的两个纽结是等价的,其拓扑不变量(例如Jones多项式)没有改变。

要证明两个纽结不等价,不能因为找不到两个纽结之间的形变,就断定它们不等价;通常还是用拓扑学的基本办法,即找纽结等价的不变量。若两个纽结有一不变量各不相同,则这两纽结不等价。常见的纽结不变量是纽结群,还有一些纽结多项式等。

如何打开纽结?一种途径是通过零移动和赖德迈斯特(Reidemeister)移动I, II, III对纽结进行变形。如果能够在三维空间将一个看似非常复杂的纽结变形成为一个圆圈(平凡的纽结),可以说是打开了纽结。但是,这仅仅对等价于圆圈的纽结才能成立。第二种途径是引入高维空间。这是因为纽结是三维空间特有的现象,在二维或高于三维空间,简单闭曲线没有打结的问题。这也是我提出的猜想一的拓扑学基础。

纽结以及其与统计物理的关系:众所周知,在统计物理和拓扑学的Jones 多项式及其它多项式之间存在紧密的联系。一个封闭的辫子Jones 多项式是在辫子上的统计模型的配分函数。对纽结和环图,一个平面曲线的基本拓扑变形是零移动和Reidemeister移动I, II, IIIReidemeister移动改变一个图的图形结构,但保持相应的结和环的镶嵌的拓扑类型不变,即所谓的环境痕(ambient isotopy)。纽结图的一个态与一个物理系统的能量态类似。可以找到一种方法对系统拓扑变形时保持态结构不变,且将态的不变性质变成纽结和环的拓扑不变量。态的拓扑演化和对态空间的积分是对研究纽结和环的拓扑来讲是互补的。拓扑学上,消除一个交叉2种可能性,所以一个具有N 个交叉的图有2N 个态。括号多项式,即态求和,由下式定义:                                              

这里s K的所有状态求和。括号态求和与离散统计力学中的配分函数类似。

       根据拓扑学理论,有:

                                           

                                            

公式可以改写成矩阵形式:

                                          

可以通过一个变换将系统从两种不同的交叉<c> <c-1> 的基变换到两种不同的非交叉 <> <)(> 的基,反之亦然。只要在系统中存在纽结或者环,无论它们是多么的复杂,总是存在一个变换矩阵的。我的猜想一认为:三维伊辛模型中的拓扑学问题可以通过增加一维空间,在四维空间打开三维伊辛模型的纽结。实际上,上面的讨论表明不需要如猜想一建议的那样引入附加的旋转,因为代表这种旋转的矩阵内禀地自发地存在在系统中。带有非平凡的结或者环的三维多体相互作用系统自然地存在一个附加的维度以及一个附加的旋转变换矩阵。在这个自然存在在体系中的四维空间确实可以打开三维伊辛模型的纽结。

增加一维,在四维空间,打开三维空间的纽结,是一个最基本的拓扑学常识。而三维伊辛模型精确求解的最大困难就是存在非平庸的纽结。我的猜想一就是直接将拓扑学的常识应用到三维伊辛模型的求解过程,从数学原理方面理解是非常自然而然的事情,可以说是不证自明的。当然,任何猜想,没有严格的证明之前仍然是猜想,无法升格为定理。我们需要做的是,在三维伊辛模型的公式中一步步地具体地展示纽结是如何被打开的,并且保持结果没有被改变。革命尚未成功,同志仍需努力。

下一回,我将介绍与拓扑学的第三种Reidemeister移动有密切关系的物理学方程:杨-巴克斯特(Yang-Baxter)方程。-巴克斯特方程对精确求解一个物理模型至关重要。

参考文献(三维伊辛模型精确解研究三部曲):

  1. 提出两个猜想:Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

  2. 初探数学结构:Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

    https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

  3. 证明四个定理:Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2


 



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