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终结猜想-6-拓扑结构 精选

已有 4075 次阅读 2019-5-23 08:12 |个人分类:追梦|系统分类:科研笔记

 

在人类的知识结构中,数学是最基础的学科,数学是知识金字塔的底座,在其上依次是物理、化学、生物、医学、。。。而物理与数学的联系最为紧密。一方面,物理学致力于探究大自然的奥秘,以物理基本定律以及模型描述自然体系的运动规律,而这些物理定律以及模型需要用数学公式描述。另外一方面,数学的公理体系和由此而产生的定理需要在实际生活和工程中得到应用,与物理学的联系是其中的一个重要的出口。数学的发展也会推动物理学的进展。一个典型的例子是,德国数学家黎曼1851年创立的黎曼几何。爱因斯坦1915完成的广义相对论的空间几何就是黎曼几何黎曼几何的提出比广义相对论早了60多年。由于数学家在研究数学问题时不考虑实际的应用背景,所以是直接面对代数、几何、拓扑等方面的基本问题,也是大自然的最基本问题,通常会超前于物理以及其他学科的发展。因此,当物理学家在描述某个物理现象遇到数学上的障碍时,第一要务不是自己去发明新的数学工具,而是去查阅数学文献,学习、理解和应用已经存在着的数学工具。大多数情况下,物理学家都会发现,几十年甚至几百年前的数学家在那里微笑着等待着他们。

在三维伊辛模型求解过程中存在的主要困难是拓扑学的困难,源于转移矩阵中的内因子,这是由于三维空间的拓扑性质决定的。三维空间的非平面性导致多体相互作用体系存在非平庸的拓扑结构。一维伊辛模型不存在这个问题,做一次周期性边界条件后,仅有两个自旋。二维伊辛模型也不存在这个问题,做一次周期性边界条件后,仅有一个自旋链参与编号。而三维伊辛模型,在做了一次周期性边界条件后,有一个平面的自旋参与编号。在转移矩阵中,这些自旋的贡献都在起作用,整体上贡献非局域效应。无论你如何编号,有些最近邻的自旋的编号相差很远,其相互作用就像隔离得很远的自旋相互作用。在三维空间原来编号很整齐的格点之间的链接,变成在二维平面上很远的点链接,纵横交错,形成许许多多的交叉,即非平庸的纽结。我的猜想一:三维伊辛模型中的拓扑学问题可以通过增加一维空间,在四维空间打开三维伊辛模型的纽结。这个猜想实际上与拓扑学的一个定理是相通的。拓扑学上有一个定理:三维空间的纽结可以被在四维空间打开。下面,将简要介绍拓扑学的发展、拓扑学的一些基本现象或者概念,拓扑学与物理学的联系,拓扑学中的纽结以及其与统计物理的关系,以表明大呆提出的引入第四维度处理三维伊辛模型的拓扑学问题是有重要物理学意义和拓扑学基础的。

所谓拓扑,就是数学体系的结构。拓扑学就是研究这些结构的特征以及不同结构之间的转变。现代拓扑学的发展起源于18世纪对七桥问题的研究。第一个出场的牛人是大数学家欧拉

莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler 1707415日~1783918日),瑞士数学家。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一,他不但为数学界作出重要贡献,更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家,平均每年写出八百多页的论文,还写了大量的力学分析学几何学变分法等的课本,《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。在许多数学的分支中经常见到以欧拉的名字命名的重要常数、公式和定理。欧拉还涉及建筑学弹道学航海学等领域。

所谓七桥问题就是说,在哥尼斯堡的一个公园里,有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来。问是否可能从这四块陆地中任一块出发,恰好通过每座桥一次,再回到起点?欧拉于1736年研究并解决了此问题,他把两个岛以及两边的河岸标记为4个点,七个桥梁为链接这四个点的连线,将问题归结为一个简单的图形的一笔画问题,根据进出每个点的线的个数(奇偶性),出发点和结束点的那一点的线的个数应该为偶数,证明上述走法是不可能的。173629岁的欧拉圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文,在解答问题的同时,开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑。欧拉在拓扑学上另外一个重要贡献,就是分析了多面体的顶角个数V、边数E、面的个数F之间的关系,发现它们之间满足一个关系式:V-E+F = X, 从而建立了欧拉示性数。对于没有洞的多面体X = 2,对于有一个洞的多面体X = 0。。。。欧拉示性数X=2-2g。其中g为亏格数,也就是洞的个数。(定义:若曲面中最多可画出n条闭合曲线同时不将曲面分开,则称该曲面亏格为n。以实的闭曲面为例,亏格g就是曲面上洞眼的个数。)

拓扑学与物理学的发展密不可分,两者是相互联系,相互促进的。第二个常常提及的牛人是,高斯。

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯Johann Carl Friedrich Gauss 1777430日-1855223日),德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家,近代数学奠基者之一。高斯被认为是历史上最重要的数学家之一,并享有数学王子之称。高斯和阿基米德、牛顿、欧拉并列为世界四大数学家。一生成就极为丰硕,以他名字高斯命名的成果达110个,属数学家中之最。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。

那么,高斯在拓扑学上有什么贡献?高斯写下拓扑学的一个重要公式。给出一个封闭回路围绕另外一个封闭回路的绕数。高斯的绕数公式好像是神来之笔,不知道他是如何得到的。经过仔细分析,这个绕数公式应该来源于物理学的电磁学理论。由电磁学的毕奥-萨伐尔(Biot–Savart)和安培环路定理Ampere circuital theorem可以直接推导出高斯的绕数公式。在静磁学中,毕奥-萨伐尔定律描述电流元在空间任意点P处所激发的磁场。电流元Idl 在空间某点P处产生的磁感应强度 dB 的大小与电流元Idl 的大小成正比,与电流元Idl 所在处到 P点的位置矢量电流元Idl 之间的夹角的正弦成正比, 而与电流元Idl P点的距离的平方成反比。该定律在静磁近似中是有效的,并且与安培环路定理和磁性高斯定律一致。安培环路定理:在稳恒磁场中,磁感应强度B沿任何闭合路径的线积分,等于这闭合路径所包围的各个电流的代数和乘以磁导率。安培环路定理反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。

毕奥-萨伐尔定律的公式代入安培环路定理的公式即得到高斯的绕数公式。这个公式电磁学上的意义是,描述了一个封闭导线的电流产生的磁感应强度,这个磁感应强度B沿另外一个封闭导线的闭合路径的线积分

拓扑学中有许多有趣的例子。比较著名的是莫比乌斯带。1858年德国数学家莫比乌斯Mobius17901868)和约翰·李斯丁发现:把一根纸条扭转180°后,两头再粘接起来做成的纸带圈。这样的纸带只有一个面(即单侧曲面),一只小蚂蚁可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。普通纸带具有两个面(即双侧曲面),一个正面,一个反面。莫比乌斯带的高维类似物是克莱因瓶。在拓扑学中,克莱因瓶(Klein Bottle)是一个不可定向的拓扑空间。在1882年德国几何学大家菲立克斯·克莱因 (Felix Klein) 发现了克莱因瓶。一个瓶子底部有一个洞,现在延长瓶子的颈部,并且扭曲地进入瓶子内部,然后和底部的洞相连接。这个物体没有,它的表面不会终结。它和球面不同 ,一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面,即它没有内外之分。

拓扑学上的等价指的是,通过连续变形从一个结构变到另外一个结构。通常人们举的例子有:一个球与一个碗是拓扑等价的。一个面包圈与带一个杯把子的茶杯是拓扑等价的,。。。一个结构的拓扑性质由其中存在的贯穿的洞的个数决定。由于拓扑结构的不变性,具有拓扑保护,拓扑性质不容易被改变。例如,一个烟圈可以维持其形状被吹到远处而不消散。拓扑学的知识与物理学密切相关,经过多年的研究,人们已经知晓,拓扑学的贡献体现在物理学的方方面面。例如,在许多体系存在的拓扑相因子,见大呆的系列博文《物理学中的拓扑相因子》。正是由于几位科学家对拓扑物相的认识以及其对凝聚态物质的贡献,诺贝尔物理学奖2016年颁发给三位科学家。David Thouless Duncan Haldane M. Kosterlitz以表彰他们在物质的拓扑相变和拓扑相方面的理论发现。Kosterlitz Thouless在二维XY模型体系发现了与涡旋态相关的拓扑相变,从而解释了在二维超导、超流和磁性体系的拓扑相变。Duncan Haldane发现一维反铁磁体系存在与自旋量子数的性质(整数和半整数)相关的拓扑性质,存在有无能隙的变化,并且用拓扑学的性质解释了量子霍尔效应的机制,对后来拓扑绝缘体的发展有启发性作用。他们具体的工作不是这篇博文介绍的重点内容。这足以说明拓扑学对物理学的重要性。

下一篇博文将介绍拓扑变换以及与三维伊辛模型的联系。

参考文献(三维伊辛模型精确解研究三部曲):

  1. 提出两个猜想:Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

  2. 初探数学结构:Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

    https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

  3.证明四个定理:Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2

 



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