Zmn-0977 薛问天: 关键是要分清有穷集合和无穷集合，评李鸿仪先生的《0976》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生《Zmn-0976》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

关键是要分清有穷集合和无穷集合，评李鸿仪先生的《0976》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

人类的聪明才智，主要体現在对不同的事物，要有不同的认识，有些规律开始认为它是事实，但是它只是在一定情况下是事实，对不同的情况，它就不是事实了。需要发展不同的理论。从而形成了人类的文明和科学的进步和发展。

开始时认为牛顿力学揭示了客覌的真理。例如速度和成原理，当一个物体在一个以速度u向前运行的环境系统中以速度v向前运行，那么这个物体实际就是以u+v的速度在向前运行。于是很多人就把速度合成认为是人人皆知的最简单的事实。但是后来发′現，光速就不如此。对于光速，【速度合成】已不是事实了。光速是不变的，同光源本身的运动速度无关。这就是爱因斯坦的狭义相对论。

有两个在不同地方的物体，当一个物体的状态随另一物体变化时，必须要有信息的传递，信息传递要有时延，人们开始时认为这是最简单的事实，但是人们发現两个有纠缠关系的量子，虽然可以距离很运，但是它的的状态变化可以同步发生。【必须时延】的事实已不存在。这就星量子纠缠，量子力学。

三角形的内角之和是180°，开始人们以为这是最简单的千真万确的事实。但是后来发現，这也有不是事实的地方，这就是非欧几何。

这说明，任何事实都有它所处的条件，在所处条件下是事实，在另外的情况下，它就可能不是事实，就要作另外的研究，提出另外的理论。这才是人类的聰明才智，才是人类文明科学发展的真正历史。

李鸿仪先生的问题就出在这里。说【最简单的事实也要否认，还有是非吗？】【事情的悲哀在于:连这么简单的事实也要反对！和反对1+1=2有何区别。】

他不懂得事实在不满足相应的条件下就不是事实，在宏观物理中的事实，在微观物理中就不一定成立，在欧氏空间中的事实，在非欧空间中就不一定成立。包括李先生说的1+1=2的事实，在一般的数域中成立，在模2的代数中就不成立，1+1=0(mod2)。

李先生的问题就出在，他没有认识到有穷集合和无穷集合的不同，有些在有穷集合成立，是非常筒单的事实，但在无穷集合中就不成立。集合的【元素数目】就是非常典型的实例。

李先生所说的【所谓元素数目，是指对元素进行计数得到的结果。计数是一种加法运算:每数一个元素，计数结果+1。】

这句话就只对有限集合有效。就是说用计数的方法来求集合的元素数目，只对有限集合有效，能求出结果，是由0或1开始，经有穷次的+1，得到一个确定的自然数。但是用这种方法对无穷集合是求不出任何结果的。

李先生写的【对无限集合，计数结果可以用一个无上界的正整数变量n表示:

n=1+1+1+1+……，      (1)】

写得不对，这里(1)中【...】并不 代表无穷个1，而是n个1，他这里正确的写法应是n=1+1+1+...+1(n个)。是有穷n个。尽管n是【一个无上界的正整数变量】，但它仍是有穷数的变量，所求的不是无限集的元素数目。此变量的任何值都是有穷的正整数。

无限集合不能用计数来求元素数目，要知道对非可数的无限集合，就是有无穷个1相加，也沒把此无限集合数完，怎么能用计数法来求无限集的元素数目呢，而且这无穷个1相加结果是什么并无定义。

无限集合用对有限集合的计数方法已求不出元素数目了。要采取另外的办法，这就是所谓的求双射一一对应的方法。对于这点李先生也有所认识，即他说的不改变元素数目的【操作】，如乘2，减1，平方等。这在数学上早己定义清楚，是双射。即满足单射和满射的映射。这在数学上己讲得非常清楚，集合A和B间存在双射就是存在一一对应，A和B间任何元素都相互对应，一不对多，多不对一，对应无重复无遗漏，因而把存在双射即存在一一对应的两个集合认为元素数目相等。基数的相等就是用这种方法定义的。但是人们发現无穷集合有可能同它的真子集一一对应。也就是说在这里表現出有限集合同无限集合的不同。人们知道对有限集合来说，集合同它的任何真子集都不可能一一对应，元素数目不可能相等，这是非常简单妇幼皆知的事实，但是对无穷集合来说，这已经不是事实了，可以严格证明无穷集同它的某真子集一一对应。全体自然数集合A同它的真子集全体偶数的集合A1一一对应。对于这点李鸿仪先生心里也是一清二楚的。但就是不愿公开承认。

在牛顿力学中成立的事实，在相对论中有的不成立，这完全正常，不是悖论。有些在宏观物理中存在的事实，在量子力学中不成立，量子纠缠是存在的事实不是悖论。三角形内角之和等于180°这个简单的事实，在非欧几何中不成立，也完全正常不是悖论。同样，在有限集合中成立的有些筒单的事实，在无限集合中证明它不成立，也完全正常，不是悖论。

李鸿仪的问题就出在这里，不承认有限集合同无限集合的区别，不承认在有限集合成立的这个简单事实，在无穷集合中已不成立。

李先生为了为他的错误辩解，提出了一些所谓的【论证】。由于他数学基础太差，这些全都′错误重重。距离真正的数学论证差距甚远，不妨指出一些简单的例子，分析如下。

1，若干具体问题的分析。

1.a)，李先生说【对无限集合，计数结果可以用一个无上界的正整数变量n表示:

n=1+1+1+1+……，      (1)  】

这句话本身就是不通的。无限集合要用计数就至少要有无限个1相加，它的结果怎么能是【一个无上界的正整数变量n】，要知道无论n取多大的值，它都是有穷个1相加: 

n=1+1+1+...+1(n个)，怎么能是无穷个1相加呢？更何况无穷集还可能是不可数的(如实数集合)，用计数的无穷能保证把此集合数完吗？

1.b)，关键是对什么是变量，要搞清楚。变量本身并不是数值。只有当变量取瞬时值时才是常数，才有数值，才能比较大小。变量本身并不是数值，变量本身并无大小。李先生所说的【2  n大于任何一个自然数；】，当n是变量时，这句话是毫无意义的。n作为一个变量不是数值不能同自然数比较大小。在这种毫无意义的情况下去进行【证明】，自然是逻辑混乱的。

这里如果用变量的瞬时值来比较大小，有三种可能。(1)【对n的任何值k，它们的瞬时值k都大于任何一个自然数】，(2)【n存在值k，此值k大于任何一个自然数】，(3)【对任何一个自然数n*，n存在有值k，使此值k大于自然数n*，n＞n*。】

李先生实际证明的并不是【变量n大于任何一个自然数】，而是无上界的正整数变量n的取值含义:. (3)【对任何一个自然数n*，变量n可取值k，使k>n*，】

1.c)，李先生说【4 可对n作加法运算。

例如，命题 1两个不相交的无限集合A和B，如果计数结果分别为无上界的正整数变量n和m，则集合C=AUB的计数结果为n+m.】。

李先生在这里，逻辑上己陷入一片混乱。要知道李先生为无限集的元素数目，都是用加1计数方法所求的【无上界的正整数变量n】，要知道，在数学中，这样用加1计数求出的变量n都是一样的，这样的变量只有一个。你怎么用这样相同的变量来表达不同无穷集合的不同的元素数目。你怎么对这些用加1计数求出的正整数变量进行相加？

这一切都混乱不堪。请李先生举个例子，你如何为偶数集A用加1计数求出它的正整数变量n，这个变量n是什么？你如何为奇数集B用加1计数求出它的正整数变量m，这个变量m是什么？你如何为偶数集A同奇数集B的并集，C=A∪B用加1计数求出它的正整数变量，这个变量又是什么？为什么说它等于n+m?李先生的这些论述完全是你的主覌臆想，一塌糊涂，哪里是在数学论述。

1.d)，李先生还在这混乱的变量加法的基础上提出:【命题 1 任何无限集合的元素数目是比其真子集多的】。

李先生还说什么【显然，基数并不具备这种可加和性】。这纯粹是无知。关于基数的加法运算和其它算术运算，有严格的数学定义。怎么能说它没有【可加和性】呢？只不过基数数系有它的运算规律而已，基数可数无穷加上任何有穷基数仍然是等于可数无穷。不具有李先生所说的错误命题:【命题2 任何无限集合的元素数目是比其真子集多的】。关于这点我前面已经讲了，【集合的元素数目是比其真子集多的】这是有限集合成立的事实。对于无限集合已不成立。因为无穷集合有可能同它的真子集一一对应。这是李先生一直没有认识到的无限集合同有限集合的不同。正是由此基数才正确表达了无穷集合的元素数目的真正属性。而李先生坚持【命韪2】才使他所定义的【季氏元素数目】宣告彻底失败。

1.e)，我们来看李先生所举的例子。首先他说【设A={1,2,3……}                        (2)】

显然说的A就是全体自然数集合。显然A={y丨y是1或由1经有穷次+1而得到的自然数}。

然后李先生设定全体偶数集合A1和奇数集合A2。

【A1={y|y=2x,x∈A}={2,4,6,……}，        (3)

A2={y|y=2x-1.x∈A}={1,3,5,……}，      (4)】

然后说A，A1，A2的元素数目相同。如果把一一对应的无穷集合，认为是元素数目相同，这也没有任何问题。因为A.A1,A2一一对应。

但是李先生说【根据元素数目的可加和性，

A3=A1UA2                           (6)

的元素数目却是A的两倍。】

这就大错而特错了。关键是什么是集合的并。要知道任何x∈A3=A1UA2，当且仅当x∈A1∨x∈A2。因而

A3={y丨y∈A1∨y∈A2}

={y丨(y=2x,x∈A)∨(y=2x-1,x∈A)｝

     ={y丨y∈A｝。

从而证明了A3=A。是同一个无穷集合。A同A3的元素数目相同，而不能是【两倍】。同理可证A3=A6，...。从而证明了李先生的【命题3 不存在包含了所有自然数的集合.】也是错误的。

1.f)，李先生又提出一错误命题，他说【命题 4 不存在外延不变的无限集合】。

他的错误就在于对什么是集合的【外延】，什么是【外延不变】的理解上出了差错。我们知道集合的【外延】就是指集合的元素。那么【外延不变】就是指集合的元素不会改变。换句话说，就是任何一个对象，它是这个集合的元素还是它不是这个集合的元素，这个性质不会改变。不会改变就是说它不能从是集合的元素变成不是集合的元素，或者从不是集合的元素变成是集合的元素。这同集合是有限还是无限没有关系。所以无限集合完全可以是【外延不变】的。

例如所有自然数的集合，由于任何一个数，它是自然数还是不是自然数，这是不会改变的，所以所有自然数的集合，它就是【外延不变】的无穷集合。

李先生给出的【证明】更是不值一驳。一方面，他用计数加1形成的

【一个无上界的正整数变量n】作为无穷集合的元素数目就不合适。另一方面，就是把此变量n作为无穷变量的元素数目，它也是确定不变的。变量n不会变成另一个不同的变量m，因而元素数目不变。在这里，又说元素数目不变，它【不符合无上界的正整数变量n的性质3】，所以说逻辑上，完全是混乱不堪的。

1.g)，在这里李先生给出了他的【弹性集合】N，同所有自然数集合A相等的所谓【证明】。他写道; 

【命题5:N:={123……n}=A:={123……}。

证明:对任何n*∈A，1<n*<n，即n*∈N，对任何n*∈N，n*∈A，证毕】

我们来分析其中的错误: 

(1)，【对任何n*∈A，1<n*<n，即n*∈N，】这是错的。我在前面讲过(見1.b)，n作为一个变量不是数值不能同自然数比较大小。作为【无上界的正整数变量n】，它 的取值含义是【对任何一个自然数n*，变量n可取值k，使k>n*，】因而正确的说法是【对任何n*∈A，变量n可取值k，使1<n*<k，】从而所得的结论是【存存k，使n*∈{1,2,...,k｝】，並不是【n*∈N】。

(2)，因为N是弹性集合，N:={123……n}。n是变量，所以N沒有确定的外延，【外延可变】，因而说N就没有确定的元素。对任何x，说x∈N，都是没有意义的。你能说100∈N吗？不能，因为虽然当n=k≥100时，100∈{1,2,...,n}。但当n=k<100时，100∉{1,2,...,n}。所以在证明中写【n*∈N】就是毫无意义的，不知道它是什么意思。

如果把【n*∈N】理解为【存存k，使n*∈{1,2,...,k｝】那这个N就不是【弹性集合】，不是这有限集合的无穷序列了，而是这无穷个有限集合的并集了。当然说所有自然数集合A等于这无穷个有限集合的并集，那就是正确的论断。

2，关于现代实无穷覌的讨论。

首先要说清楚，关于现代实无穷覌的讨论，集合的生成的无穷过程能否完成，这不是数学问题的证明。有一定的哲学讨论在其中，是在讲道理，但不像讨论数学问题那么严格，数学中任何概念都有严格定义，任何命题都要严格证明。所有自然数集合的存在以及它的确定性，这是由集合论的公理严格证明的。而关于无穷观的讨论，讨论无穷集合的生成过程可以完成，只能说这是对集合论的直观的解释和说明，这不是严格的推理和证明。有不少是我们的理解和看法。

不过李先生提出的问题，还是可以回答的。李先生说【薛先生这段话”当这个无穷生成过程完成了，形成了无穷个有穷集，并通过并集生成无穷的自然集合”就隐含了这样一个假设: 无穷生成过程是可以完成的，请问为什么可以完成？具体怎么完成的？到哪一个自然数就能完成了？】

是的，【无穷生成过程是可以完成的】，我们不是把它当作一个假定，而是认为确实如此，这是我们实无穷观的看法。我们的看法来自我们的实践，经验和直覌。我们遇到的很多无穷过程都是可以完成的。最简单的例子就是走路。要知道你跨过的是一步。但这一步中有无穷个点，你跨一步完成了就表示你跨过这无穷个点的过程也完成了。请问跨过无穷点的这个【无穷跨过过程】是否可以完成。自然必须认为它可以完成。李先生问【请问为什么可以完成？】我就这么回答【你跨一步的过程完成了，就表示你跨过这无穷个点的过程完成了】，【如果你跨过这无穷个点的过程完成不了，那你连一步都跨不出去】。李先生你对我的回答满意吗？

李先生问【具体怎么完成的？】我的回答是【当你跨那一步时，跨过无穷点的过程就完成了。】当然还可以更具体点，假定这一步刚好1米长，你用了1秒，用匀速1米/秒的速度跨过去的。坐标是由0到1(米)。这无穷个点的坐标是0,1/2,2/3,3/4,...,(n-1)/n....单位是米。这个无穷个点都小于1，没有最后的最大点。1不在我们所说的这无穷个点中。经过这些点的时间坐标也是这个序列，但单位是秒。也就是说跨过这无穷个点的过程就是这样完成的。在1/2秒时经过了1/2米这个点，在2/3秒时经过了2/3米这个点，...，在(n-1)/n秒时经过了(n-1)/n米这个点，......，在1秒钟时，就走完了这无穷个点。这个无穷过程就是这样完成的。

李先生还在问【到哪一个自然数就能完成了？】在这里就是在问【走到这无穷个点中的哪一个点就能完成了？】因为无穷的自然数集中没有最大自然数。所以不必生成最后一个自然数，所有的自然数都生成了，这个无穷生成过程就完成了。同样，这无穷个点中沒有最后一点。所以不必经过这不存在的最后一点，只要经过了所有的点，这个跨越无穷个点的无穷过程就完成了。有限的有序集合肯定有最后的一个元素，但无限的有序集就不一定有最后的元素。这就是有限集同无限集和一个重要的不同。

李先生说【退1万步来，如果真的能完成，完成之前最后一个集合难道不也是有限集吗？怎么可能得到无穷集？所谓并集不就是这个最后的有穷集合吗？并不并有什么区别？既然是有限集合，为什么就不能再加1了呢？】

李先生还是没搞清无限和有限的区别。这个无穷的生成过程完成之后，是生成了无穷个有限集合。虽然每个集合是有限集合，但生成了无限个有限集合，在这无限个集合中并没有李先生所说的【完成之前最后一个集合】。在生成有限个集合中肯定有【最后一个集合】，但生成的是无限个，就不一定有【最后一个】。

既然没有【最后一个集合】，李先生所说的【所谓并集不就是这个最后的有穷集合吗？】就毫无意义。

要知道用加1生成的所有集合中全是有限集合。只有全体这些有限集合的并集才是无限集合。

李先生问【既然是有限集合，为什么就不能再加1了呢？】当然，这无限个集合都是有限集合，每个都可以加1产生另一个集合。问题是这另一个集合已经生成好了，就在这无穷个集合之中了，不需要你再重新生成。这无穷个集合并未增加。

这不是如同一阳生先生所说的【这是在用无穷的概念证明无穷的存在。】这不是在【证明】，而是对这个无穷生成过程完成情况的解释和说明。而且并不是【薛老师可能会一贯的忽略其中的逻辑矛盾】，而是其中根本就不存在任何逻辑矛盾。

3，关于事实。

我前面已讲清楚。李先生所说的【最简单的事实】都是对有限集合成立的事实，对于无限集合，它已经不成立，还把它当作是事实，就变成“错误认识”了！

李先生说【我承认，康托确实证明过，无限集合可以与其真子集一一对应，因此基数相同，对此我是有异议的。但这和元素数目何干？】

李先生在这里故弄旋虚明知故问。对于一一对应的集合，李先生也承认其元素数目相等。如果认为一一对应的集合，其元素数目相等，则

【无限集合可以与其真子集一一对应】，就是在说【无限集合可以与其真子集元素数目相等】。这就同你的【无限集合与其真子集元素数目不等】的错误认识是矛盾的。怎么还在问【有何相干】？

要知道【元素数目】在数学上只对有限集有定义。对于无限集的元素数目应当如何定义。业界的公认是康托尔的基数定义，是对此直观概念的严格的正确的数学表达。康托尔的基数定义，只是对于无限集的元素数目应当如何定义这个问题的回答。这是业界的公识，不是需要证明的命题。

李先生说【即然A1与A的元素数目相同，无限集与其真子集的元素数目又是不可能相同的，就充分证明了A1不是A的真子集 ，难道不是一清二楚的吗？】

A1是A的真子集，偶数集是自然数集的真子集这是由真子集定义严格证明的事实，一清二楚。所以可推出李先生坚持的【无限集与其真子集的元素数目又是不可能相同的】是完全错误的。这才是一清二楚，要承认证明的结果，而不承认由主观感受得出的只在部分情况下成立的【简单的事实】。

李先生说【康托的理论不能解释伽利略悖论】，是错误的。康托的理论根本就不认为伽利略揭露的事实是悖论。认为自然数集可以同它的真子集平方数集一一对应，这是无穷集的特性，不是悖论，解释得很清楚。

李先生不承认他定义【李氏元素数目】的企图，以宣告失敗而告终。竟问【失败在哪里了？我的理论难道不是严格无比？】

失敗就敗在我指出的那些矛盾之中。你的理论不是【严格无比】，最后你解释不了这些矛盾，竟然反对开集合论的公理来了，甚至连无穷集合的存在都不承认了。要知道你是在定义无穷集合的元素数目，如果连无穷集合的存在都不承认，还定义什么？只能宣告失败！

4，关于外延公理。

【外延公理仅要求相等的两个集合的元素相同】，这是对的。注意这是当且仅当，，即两个集合相等是同一集合，当且仅当，两个集合的元素相同。

但是李先生说【并没有规定集合的元素不能变】【相等并不意味着不变.】这就错了。【元素相同】就是【元素不能变】。元素变了怎么能相同？元素a变成不同于a的b了，怎么还能说元素a和元素b相同。这是什么逻辑？

李先生说【相等并不意味着不变.例如 两个变量相等并不等于这两个变量是常数. 】

这纯粹是在混淆概念的狡辩。两个变量相同自然说的是两个变量之间没变，并不是说变量本身是常数。同样说两个变量不同，说的是变量的变化，一个变量变成了另一个变量，而不是说变量本身不是常量是变量。

另外李先生说两个相同的弹性集合【两个集合的外延在变化，但集合相等，符合外延公理。】当然在逻辑上是错误的。因为弹性集合就没有确定的外延，弹性集合就没有确定的元素，从而无法比较两个弹性集合的【元素相同】，从而弹性集合无法用外延公理来判定两个集合是否相等。怎么能说它【符合外延公理】呢？也就是说你用m=n认为两个弹性集合相等，但你无法用外延公理判定这两个弹性集合是集合相等的。也就是说对于李先生所说的外延可变的弹性集合，不可能符合外延公理。李先生认为它【符合外延公理】是错误的。

应验了李先生说的这句话【硬要把错误的理解硬套在正确的理论上，从而把一切都弄得乱七八糟】。

李先生认为【根本就不存在外延确定的无限集合】。把无限集合定义为外延可变的弹性集合。这样一来，任何无限集合A，就变成无确定的外延，也就是说沒有确定的元素。对任何对象x，你都确定不了它是不是A的元素，也就是说确定不了x∈A，还是x∉A。对任何无限集合A和B，你都不能根据外延公理，由它含的元素是否相同来判定A同B是否相等是同一个集合。对于这样的无限集合，元素都不确定，你如何定义它们的子集和真子集。对于这样的无限集合，元素都不确定，你如何定义它们的元素数目？还讨论它们的元素数目有意义吗？这些问题都请李先生仔细想想看。

确实李先生需要仔细想想了。如果总是对这些错误的理论洋洋自得，不愿意听取对这些现论的质疑，分不清对错，就【失去了与其进行学术讨论的意义】。希望李先生好自为知，仔细想想。

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